Considere a integral:
integral ln (sen x) d x
Sabe-se que esta integral não pode ser resolvida em termos de funções elementares. No entanto, no intervalo [0, pi / 2], podemos explorar propriedades de simentria para simplificála. As funções sen x e cos x são simétricas nesse intervalo, pois sen x=cos (pi2-x). Essa relação permite transformar ln (sen x) em ln (cos x) dentro da integral. Dessa forma, utilizando essas propriedades, determine o valor da integral definida:
integral0^pi / 2 ln (sen x) d x

Passo 1

Então, galera, vamos resolver uma integral definida que envolve o logaritmo do seno de x, especificamente:
integral0^pi / 2 ln (sen x) , dx
Estamos trabalhando com cálculo integral, explorando propriedades de simetria das funções trigonométricas no intervalo de 0 a π/2. Vamos utilizar a relação de que sen x = cos(pi2 - x) para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a propriedade de simetria que relaciona o seno e o cosseno no intervalo [0, pi/2]. Sabemos que:
sen x = cos(pi2 - x)
Tomando o logaritmo de ambos os lados:
ln(sen x) = ln(cos(pi2 - x))

Passo 3

Agora, substituímos essa relação na nossa integral original:
integral0^pi / 2 ln (sen x) , dx = integral0^pi / 2 ln(cos(pi2 - x)) , dx

Passo 4

Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a integral. Seja:
u = pi2 - x
Então, quando x = 0, u = pi2, e quando x = pi2, u = 0. A diferencial dx = -du.

Passo 5

Substituindo na integral:
integral0^pi / 2 ln(cos(pi2 - x)) , dx = integralpi / 2^0 ln(cos u) , (-du) = integral0^pi / 2 ln(cos u) , du

Passo 6

Agora, temos duas integrais que são iguais:
I = integral0^pi / 2 ln (sen x) , dx = integral0^pi / 2 ln(cos x) , dx
Somando as duas expressões para I:
2I = integral0^pi / 2 [ln (sen x) + ln(cos x)] , dx = integral0^pi / 2 ln (sen x cdot cos x) , dx

Passo 7

Simplificamos o produto dentro do logaritmo usando a identidade trigonométrica:
sen x cdot cos x = 12 sin(2x)
Então,
2I = integral0^pi / 2 ln(12 sin(2x)) , dx = integral0^pi / 2 ln(12) , dx + integral0^pi / 2 ln(sin 2x) , dx

Passo 8

Calculamos cada integral separadamente:
Primeira integral:
integral0^pi / 2 ln(12) , dx = ln(12) cdot pi2 = -ln 2 cdot pi2
Segunda integral, fazemos uma mudança de variável t = 2x, então dt = 2dx, quando x = 0, t=0, e x = pi2, t = pi:
integral0^pi / 2 ln(sin 2x) , dx = 12 integral0^pi ln(sin t) , dt = 12 cdot (-pi ln 2)

Passo 9

Somando as duas partes:
2I = -pi2 ln 2 - pi2 ln 2 = -pi ln 2
Portanto, dividindo por 2 para encontrar I:
I = -pi2 ln 2

Resposta

O valor da integral definida é:
integral0^pi / 2 ln (sen x) , dx = -pi2 ln 2

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