Considere a integral:
Sabe-se que esta integral não pode ser resolvida em termos de funções elementares. No entanto, no intervalo
, podemos explorar propriedades de simentria para simplificála. As funções sen
e
são simétricas nesse intervalo, pois sen
. Essa relação permite transformar
em
dentro da integral. Dessa forma, utilizando essas propriedades, determine o valor da integral definida:
Passo 1
Então, galera, vamos resolver uma integral definida que envolve o logaritmo do seno de x, especificamente:
Estamos trabalhando com cálculo integral, explorando propriedades de simetria das funções trigonométricas no intervalo de 0 a π/2. Vamos utilizar a relação de que
para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a propriedade de simetria que relaciona o seno e o cosseno no intervalo
. Sabemos que:
Tomando o logaritmo de ambos os lados:
Passo 3
Agora, substituímos essa relação na nossa integral original:
Passo 4
Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a integral. Seja:
Então, quando
,
, e quando
,
. A diferencial
.
Passo 5
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, temos duas integrais que são iguais:
Somando as duas expressões para
:
Passo 7
Simplificamos o produto dentro do logaritmo usando a identidade trigonométrica:
Então,
Passo 8
Calculamos cada integral separadamente:
Primeira integral:
Segunda integral, fazemos uma mudança de variável
, então
, quando
,
, e
,
:
Passo 9
Somando as duas partes:
Portanto, dividindo por 2 para encontrar
:
Resposta
O valor da integral definida é: