Considere a seguinte equação:
Mostre que essa equação não é linear, é uma equação de Bernoulli e resolva-a sob a condição inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma equação diferencial dada por:
O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que essa equação não é linear, identificar que ela é do tipo Bernoulli e, por fim, resolver essa equação usando a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais lineares e de Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é linear ou não. Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma:
onde
e
são funções de
. Se a equação não se encaixa nessa forma, ou se o termo que multiplica
não é linear (por exemplo,
com
), então ela não é linear.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação dada para tentar colocá-la na forma padrão. Começamos dividindo todos os termos por
:
Agora, isolamos
:
Observamos que o termo que multiplica
é
, ou seja, envolve
. Isso mostra que a equação não é linear, pois aparece um termo não linear em
.
Passo 4
Como a equação não é linear, vamos verificar se ela é do tipo Bernoulli. Uma equação de Bernoulli tem a forma:
onde
é qualquer número real. Comparando com nossa equação reescrita:
Podemos reescrever assim:
Aqui,
,
e
. Então, sim, é uma equação de Bernoulli.
Passo 5
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em linear. Definimos:
Agora, vamos encontrar
. Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Voltando à equação original reescrita:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Lembrando que
e
, substituímos:
Agora, essa é uma equação diferencial linear na forma padrão
.
Passo 7
Vamos resolver a equação linear:
Para isso, encontramos o fator integrante (
):
Passo 8
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 9
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 10
Resolvendo para
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Invertendo ambos os lados para encontrar
:
Passo 11
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
:
Elevando ambos os lados ao cubo:
Daí,
Resposta
A solução da equação diferencial, considerando a condição inicial
, é: