Considere a seguinte equação:
3(1+x^2) d y-2 x y(y^3-1) d x=0
Mostre que essa equação não é linear, é uma equação de Bernoulli e resolva-a sob a condição inicial y(0)=17.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma equação diferencial dada por:
3(1+x^2) dy - 2xy(y^3 - 1) dx = 0
O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que essa equação não é linear, identificar que ela é do tipo Bernoulli e, por fim, resolver essa equação usando a condição inicial y(0) = 17 . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais lineares e de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é linear ou não. Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma:
dydx + P(x) y = Q(x)
onde P(x) e Q(x) são funções de x . Se a equação não se encaixa nessa forma, ou se o termo que multiplica y não é linear (por exemplo, y^n com n neq 1 ), então ela não é linear.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação dada para tentar colocá-la na forma padrão. Começamos dividindo todos os termos por dx :
3(1+x^2) dydx - 2xy(y^3 - 1) = 0
Agora, isolamos dydx :
dydx = 2xy(y^3 - 1)3(1+x^2)
Observamos que o termo que multiplica y é y(y^3 - 1) , ou seja, envolve y^4 . Isso mostra que a equação não é linear, pois aparece um termo não linear em y .

Passo 4

Como a equação não é linear, vamos verificar se ela é do tipo Bernoulli. Uma equação de Bernoulli tem a forma:
dydx + P(x) y = Q(x) y^n
onde n é qualquer número real. Comparando com nossa equação reescrita:
dydx = 2x3(1+x^2) y(y^3 - 1)
Podemos reescrever assim:
dydx - 2x3(1+x^2) y = 2x3(1+x^2) y^4
Aqui, P(x) = -2x3(1+x^2) , Q(x) = 2x3(1+x^2) e n = 4 . Então, sim, é uma equação de Bernoulli.

Passo 5

Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em linear. Definimos:
v = y^1 - n = y^1 - 4 = y^-3
Agora, vamos encontrar dvdx . Diferenciando ambos os lados em relação a x :
dvdx = -3 y^-4 dydx

Passo 6

Voltando à equação original reescrita:
dydx - 2x3(1+x^2) y = 2x3(1+x^2) y^4
Multiplicamos ambos os lados por -3 y^-4 :
-3 y^-4 dydx + 2x1+x^2 y^-3 = -2x 11+x^2
Lembrando que v = y^-3 e dvdx = -3 y^-4 dydx , substituímos:
dvdx + 2x1+x^2 v = -2x1+x^2
Agora, essa é uma equação diferencial linear na forma padrão dvdx + P(x) v = Q(x) .

Passo 7

Vamos resolver a equação linear:
dvdx + 2x1+x^2 v = -2x1+x^2
Para isso, encontramos o fator integrante ( mu(x) ):
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral 2x1+x^2 dx = e^ln(1+x^2) = 1+x^2

Passo 8

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante 1+x^2 :
(1+x^2) dvdx + 2x v = -2x
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto (1+x^2) v :
ddx [(1+x^2) v ] = -2x

Passo 9

Integrando ambos os lados em relação a x :
integral ddx [(1+x^2) v ] dx = integral -2x , dx
Isso resulta em:
(1+x^2) v = -x^2 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 10

Resolvendo para v :
v = -x^2 + C1+x^2
Lembrando que v = y^-3 , substituímos de volta:
y^-3 = -x^2 + C1+x^2
Invertendo ambos os lados para encontrar y :
y = ( 1+x^2-x^2 + C )^13

Passo 11

Agora, usamos a condição inicial y(0) = 17 para encontrar a constante C . Substituindo x = 0 e y = 17 :
( 1+0-0 + C )^13 = 17
( 1C )^13 = 17
Elevando ambos os lados ao cubo:
1C = 1343
Daí,
C = 343

Resposta

A solução da equação diferencial, considerando a condição inicial y(0) = 17 , é:
y = ( 1+x^2343 - x^2 )^13

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