integral1^7 / 4 d x9+16(x-1)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral definido
integral1^7/4dx9+16(x-1)^2
O tema é integração de função do tipo 1a^2+b^2u^2, que leva a uma função arctan. Vamos usar substituição para colocar no formato padrão.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = x - 1, dx = du
Os limites em x geram em u: quando x=1, u=0; quando x=tfrac74,
u = tfrac74 - 1 = tfrac34
Então o integral vira
integral1^7/4dx9+16(x-1)^2 = integral0^3/4du9+16u^2

Passo 3

Reconhecemos a forma
integraldua^2+b^2u^2 =1abarctan!l(tfracb,uar)+C
Aqui a=3 e b=4. Logo
integraldu9+16u^2 =13cdot4arctan!l(tfrac4u3r) =112arctan!l(tfrac4u3r)+C

Passo 4

Aplicando os limites de u=0 a u=tfrac34:
I = l[tfrac112arctan!l(tfrac4u3r)r]0^3/4 = 112l(arctan(1)-arctan(0)r) = 112cdotpi4 = pi48

Resposta

pi48

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