integral0^1 d xx^4+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1dxx^4+1
O conteúdo principal aqui é a integração por frações parciais, que envolve fatorar o denominador em quadráticos reais, decompô-lo em termos lineares sobre esses quadráticos, e depois integrar cada parte usando logaritmo e arco-tangente.

Passo 2

Fatoramos o denominador em dois polinômios de segundo grau:
x^4+1 = l(x^2+raiz2,x+1r)l(x^2-raiz2,x+1r)
Procuramos constantes A,B,C,D tais que
1x^4+1 = A,x+Bx^2+raiz2,x+1 + C,x+Dx^2-raiz2,x+1
Multiplicando ambos os lados por x^4+1 e igualando coeficientes de potências de x, obtemos o sistema
A+C=0, -Araiz2+B +Craiz2+D=0, A -Braiz2+C +Draiz2=0, B+D=1

Passo 3

Resolvendo esse sistema surge
A=12raiz2, B=12, C=-12raiz2, D=12
Assim
1x^4+1 = 12raiz2,x+12x^2+raiz2,x+1 + -12raiz2,x+12x^2-raiz2,x+1

Passo 4

Integramos cada fração separadamente completando o quadrado em cada denominador. Por exemplo,
x^2+raiz2,x+1 = l(x+tfracraiz22r)^2+tfrac12,
e escrevemos o numerador como combinação de derivada do denominador mais constante, gerando um termo ln e um termo arctan. Fazendo isso para os dois ramos, obtemos a primitiva
F(x) =14raiz2 ln!gl(x^2+raiz2,x+1x^2-raiz2,x+1gr) +raiz24,l[arctan!l(raiz2x+1r)+arctan!l(raiz2x-1r)r]
Usamos em seguida a identidade de soma de arctangentes para juntar
arctan(raiz2x+1)+arctan(raiz2x-1) =arctan!l(tfracraiz2x1-x^2r).

Passo 5

A primitiva simplificada fica
F(x) =14raiz2 ln!gl(x^2+raiz2,x+1x^2-raiz2,x+1gr) +raiz24,arctan!l(raiz2,x1-x^2r)

Passo 6

Agora avaliamos F(1) e F(0). Para x=1:
x^2+raiz2x+1x^2-raiz2x+1 =2+raiz22-raiz2 =(1+raiz2)^2, arctan!l(raiz20r)=pi2
Logo
F(1) =14raiz2cdot 2ln(1+raiz2) +raiz24cdotpi2 =12raiz2ln(1+raiz2) +pi4raiz2
Para x=0, tanto o logaritmo quanto o arco-tangente são zero, então F(0)=0.

Passo 7

Portanto a integral definida vale
integral0^1dxx^4+1 =F(1)-F(0) =pi4raiz2 +12raiz2lnl(1+raiz2r)

Resposta

boxed integral0^1dxx^4+1 =pi4raiz2 +12raiz2lnl(1+raiz2r)

Exercícios relacionados