Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
O conteúdo principal aqui é a integração por frações parciais, que envolve fatorar o denominador em quadráticos reais, decompô-lo em termos lineares sobre esses quadráticos, e depois integrar cada parte usando logaritmo e arco-tangente.
Passo 2
Fatoramos o denominador em dois polinômios de segundo grau:
Procuramos constantes
tais que
Multiplicando ambos os lados por
e igualando coeficientes de potências de
, obtemos o sistema
Passo 3
Resolvendo esse sistema surge
Assim
Passo 4
Integramos cada fração separadamente completando o quadrado em cada denominador. Por exemplo,
e escrevemos o numerador como combinação de derivada do denominador mais constante, gerando um termo
e um termo
. Fazendo isso para os dois ramos, obtemos a primitiva
Usamos em seguida a identidade de soma de arctangentes para juntar
.
Passo 5
A primitiva simplificada fica
Passo 6
Agora avaliamos
e
. Para
:
Logo
Para
, tanto o logaritmo quanto o arco-tangente são zero, então
.
Passo 7
Portanto a integral definida vale