Resolva o seguinte Problema de valor inicial
x y^prime+y^prime+y=ln x, y(1)=10

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você tem para resolver é um Problema de Valor Inicial, que pertence à matéria de Equações Diferenciais. A equação que precisamos resolver é:
x y^prime + y^prime + y = ln x, y(1) = 10
Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação para torná-la mais simples e depois aplicar métodos de resolução de equações diferenciais, como encontrar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dada. Observe que temos y' aparecendo duas vezes:
x y' + y' + y = ln x
Podemos fatorar o y' :
y'(x + 1) + y = ln x
Agora, a equação está na forma padrão de uma Equação Linear de Primeira Ordem:
y' + P(x) y = Q(x),
onde:
P(x) = 1x + 1, Q(x) = ln xx + 1

Passo 3

Para resolver uma equação linear de primeira ordem, usamos o método do Fator Integrante. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Vamos calcular mu(x) :
mu(x) = e^integral 1x + 1 dx = e^ln |x + 1| = x + 1

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x) = x + 1 :
(x + 1) y' + (x + 1) P(x) y = (x + 1) Q(x)
Substituindo P(x) e Q(x) :
(x + 1) y' + y = ln x
Perceba que isso simplifica para:
ddx [ (x + 1) y ] = ln x

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a x :
integral ddx [ (x + 1) y ] dx = integral ln x , dx
A integral do lado esquerdo é simplesmente (x + 1) y . Para o lado direito, usamos integração por partes:
integral ln x , dx = x ln x - x + C,
onde C é a constante de integração.
Portanto:
(x + 1) y = x ln x - x + C

Passo 6

Isolamos y para encontrar a solução geral:
y = x ln x - x + Cx + 1

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(1) = 10 para encontrar a constante C :
Substituindo x = 1 e y = 10 :
10 = 1 cdot ln 1 - 1 + C1 + 1
Sabemos que ln 1 = 0 , então:
10 = -1 + C2
Multiplicando ambos os lados por 2:
20 = -1 + C implies C = 21

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y = x ln x - x + 21x + 1

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