Resolva o seguinte Problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você tem para resolver é um Problema de Valor Inicial, que pertence à matéria de Equações Diferenciais. A equação que precisamos resolver é:
Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação para torná-la mais simples e depois aplicar métodos de resolução de equações diferenciais, como encontrar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dada. Observe que temos
aparecendo duas vezes:
Podemos fatorar o
:
Agora, a equação está na forma padrão de uma Equação Linear de Primeira Ordem:
onde:
Passo 3
Para resolver uma equação linear de primeira ordem, usamos o método do Fator Integrante. O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Substituindo
e
:
Perceba que isso simplifica para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para o lado direito, usamos integração por partes:
onde
é a constante de integração.
Portanto:
Passo 6
Isolamos
para encontrar a solução geral:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Substituindo
e
:
Sabemos que
, então:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: