Pedro e João resolveram essa integral fazendo as seguintes substituições, respectivamente:
(a)
(b)
Encontre as integrais obtidas por Pedro e por João utilizando as substituições descritas acima. Compare os resultados obtidos e justifique porque Pedro e João não encontraram uma contradição.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para calcular
usando duas substituições diferentes:
(a) o Pedro faz .
(b) o João faz .
Estamos em cálculo de integrais por substituição: precisamos saber a derivada de (que é ) e de (que é ). A ideia é trocar a parte complicada por e .
Passo 2
Pedro: .
Calcular :
Reescrever a integral:
Integrar em u:
2integral u,du = 2;u^22 + C = u^2 + C
Voltar para x:
u^2 + C = tan^2 x + C
Passo 3
João: u=sec x.
Calcular du:
du = ddx(sec x),dx = sec xtan x,dx
Vamos expressar tan x,sec^2 x,dx em termos de u e du. Note que