Considere a integral
integral 2 tg x sec ^2 x d x
Pedro e João resolveram essa integral fazendo as seguintes substituições, respectivamente:
(a) u=tg x
(b) u=sec x
Encontre as integrais obtidas por Pedro e por João utilizando as substituições descritas acima. Compare os resultados obtidos e justifique porque Pedro e João não encontraram uma contradição.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para calcular
integral 2,tan x,sec^2 x;dx
usando duas substituições diferentes:
(a) o Pedro faz u=tan x.
(b) o João faz u=sec x.
Estamos em cálculo de integrais por substituição: precisamos saber a derivada de tan x (que é sec^2 x) e de sec x (que é sec xtan x). A ideia é trocar a parte complicada por u e du.

Passo 2

Pedro: u=tan x.
  1. Calcular du:
du = ddx(tan x),dx = sec^2 x,dx
  1. Reescrever a integral:
integral 2,tan x,sec^2 x,dx = 2integral underbracetan x=u;underbracesec^2 x,dx=du = 2integral u,du
  1. Integrar em u:
2integral u,du = 2;u^22 + C = u^2 + C
  1. Voltar para x:
u^2 + C = tan^2 x + C

Passo 3

João: u=sec x.
  1. Calcular du:
du = ddx(sec x),dx = sec xtan x,dx
  1. Vamos expressar tan x,sec^2 x,dx em termos de u e du. Note que
tan x,sec^2 x,dx = sec x;l(sec xtan x,dxr) = sec x;du = u,du
Então
integral 2,tan x,sec^2 x,dx = 2integral u,du
  1. Integrar em u:
2integral u,du = u^2 + C
  1. Voltar para x:
u^2 + C = sec^2 x + C

Passo 4

Pedro achou tan^2 x + C e João sec^2 x + C. Parece diferente, mas lembra da identidade trigonométrica
sec^2 x = tan^2 x + 1
Ou seja,
sec^2 x + C = l(tan^2 x + 1r) + C = tan^2 x + (C+1),
que é só outra constante. Então não há contradição: os dois resultados são a mesma família de primitivas, só mudam a constante de integração.

Resposta

Pedro: tan^2 x + C
João: sec^2 x + C
Eles batem porque sec^2 x = tan^2 x + 1, logo diferem apenas por uma constante.

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