Para integrar qualquer função racional (um quociente de polinômios) expressamos essa função como a soma de frações mais simples, chamadas frações parciais, que podem ser calculadas com os métodos já estudados. A seguir apresentaremos um exemplo de cada tipo das frações parciais. Encontre as primitivas para esses exemplos:
O quociente de uma constante por um polinômio de grau 1 elevado a um exponente natural maior que 1.
integral 3(x-2)^2 d x

Passo 1

Beleza, o que a questão pede é calcular
integral 3(x-2)^2,dx
Isso faz parte de integração de funções racionais (aquelas que são quocientes de polinômios). Aqui não precisa quebrar em frações parciais “cheias”: basta notar que o denominador é (x-2)^2, ou seja, um polinômio de grau 1 elevado a um expoente maior que 1.
O que vamos precisar:
  • Reescrever 3(x-2)^2 como 3,(x-2)^-2.
  • Usar a regra de potência para integração:
    integral u^m,du = u^m+1m+1+C (para mneq -1).
  • Fazer a troca u = x-2, daí du = dx.

Passo 2

Primeiro, reescrevo a integral usando expoente negativo:
integral 3(x-2)^2,dx = 3integral (x-2)^-2,dx
Aqui eu só “puxei” o 3 para fora e converti (x-2)^-2.

Passo 3

Agora aplico a regra de potência. Vamos definir u = x-2, então du = dx.
Na fórmula integral u^mdu = tfracu^m+1m+1+C, temos m = -2.
integral (x-2)^-2,dx = integral u^-2,du = u^-2+1-2+1 + C = u^-1-1 + C = -,u^-1 + C

Passo 4

Agora só voltar pra x:
-,u^-1 + C = -,(x-2)^-1 + C = -1,x-2, + C
E não esquece do fator 3 que estava lá fora:
3 times l(-1x-2r) + C = -3x-2 + C

Resposta

boxed-3x-2 + C

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