Para integrar qualquer função racional (um quociente de polinômios) expressamos essa função como a soma de frações mais simples, chamadas frações parciais, que podem ser calculadas com os métodos já estudados. A seguir apresentaremos um exemplo de cada tipo das frações parciais. Encontre as primitivas para esses exemplos:
O quociente de uma constante por um polinômio de grau 1 elevado a um exponente natural maior que 1.
O quociente de uma constante por um polinômio de grau 1 elevado a um exponente natural maior que 1.
Passo 1
Beleza, o que a questão pede é calcular
Isso faz parte de integração de funções racionais (aquelas que são quocientes de polinômios). Aqui não precisa quebrar em frações parciais “cheias”: basta notar que o denominador é
, ou seja, um polinômio de grau 1 elevado a um expoente maior que 1.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Reescrever
como . - Usar a regra de potência para integração:
(para ). - Fazer a troca
, daí .
Passo 2
Primeiro, reescrevo a integral usando expoente negativo:
Aqui eu só “puxei” o 3 para fora e converti
.
Passo 3
Agora aplico a regra de potência. Vamos definir
, então
.
Na fórmula , temos
.
Na fórmula
Passo 4
Agora só voltar pra
:
E não esquece do fator 3 que estava lá fora: