Considere a região
do plano cartesiano dada pelos pontos que encontram-se abaixo do gráfico da função
e acima do eixo
para os valores de
no intervalo
. Ou seja,
e
.
(a) Faça um esboço dessa região.
(b) Encontre um valor apoximado para a área de
, denotada por
dessa região, calculando a soma de áreas de retângulos que contém a região
ou a soma de áreas de retângulos que estão contidos em
, da seguinte forma:
Divida o intervalo
em quatro subintervalos com extremos nos pontos
e considere os retângulos que possuem bases nesses subintervalos e altura
em que
é o extremo inferior do respectivo intervalo (no caso de aproximar por retângulos contidos em
) e
é o extremo superior do respectivo intervalo (no caso de aproximar por retângulos que contém
).
(c) Encontre o valor exato dessa região
utilizando a definição de integral definida. Ou seja, escreva
como o limite quando
da soma de Riemann de
no intervalo [0, 1]. Para isso, repita o procedimento descrito na letra (
) subdividindo
em
subintervalos e utilize a seguinte identidade:
(d) Qual o erro cometido no cálculo da aproximação?
(a) Faça um esboço dessa região.
(b) Encontre um valor apoximado para a área de
(c) Encontre o valor exato dessa região
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem a região
ou seja, a área debaixo da curva
e acima do eixo
, de
até
.
Conteúdo: cálculo de área por somas de Riemann e integral definida.
O que vamos usar:
Conteúdo: cálculo de área por somas de Riemann e integral definida.
O que vamos usar:
- Partição do intervalo
em pedaços de largura . - Soma de retângulos (área ≈ base
altura). - Para a parte (c), a definição de integral como limite de soma de Riemann e a identidade
.
Passo 2
Primeiro, faça um esboço:
– Desenha os eixos e
.
– Plota a curva entre
(origem) e
(ponto
).
– A região é tudo que fica entre essa curva e o eixo
.
– Desenha os eixos
– Plota a curva
– A região
Passo 3
(b) Aproximação por retângulos com 4 subintervalos
.
- Calcular
. - Soma inferior (retângulos contidos em
): altura em cada subintervalo pelo extremo \emph{esquerdo}. - Pontos
, , , . - Alturas
, , , . - Soma
- Pontos
- Soma superior (retângulos que contêm
): altura pelo extremo \emph{direito}. - Pontos
, , , . - Alturas iguais às do item anterior, mais
. - Soma
- Pontos
Passo 4
(c) Área exata via definição de integral (limite de soma de Riemann).
- Partition em
subintervalos iguais: . - Escolhe, por exemplo, o extremo direito
. - Soma de Riemann
- Fazendo
,
Logo
Passo 5
(d) Erro das aproximações: diferença entre o aproximado e o valor exato
.
- Erro na soma inferior:
- Erro na soma superior:
Resposta
Então, resumindo tudo:
- (a) Esboço: região abaixo de
dey=x^3 ax=0 .x=1 - (b) Soma inferior
, soma superiorSrm inf=9/64approx0,1406 .Srm sup=25/64approx0,3906 - (c) Área exata
.integral0^1 x^3,dx = tfrac14=0,25 - (d) Erro inferior
, erro superior7/64approx0,1094 .9/64approx0,1406