Considere a região R do plano cartesiano dada pelos pontos que encontram-se abaixo do gráfico da função f(x)=x^3 e acima do eixo x para os valores de x no intervalo [0,1]. Ou seja, R=(x, y) ; x in[0,1] e 0 <= y <= x^3.
(a) Faça um esboço dessa região.
(b) Encontre um valor apoximado para a área de R, denotada por A(R) dessa região, calculando a soma de áreas de retângulos que contém a região R ou a soma de áreas de retângulos que estão contidos em R, da seguinte forma:
Divida o intervalo [0,1] em quatro subintervalos com extremos nos pontos 0,1 / 4,1 / 2,3 / 4,1 e considere os retângulos que possuem bases nesses subintervalos e altura f(a) em que a é o extremo inferior do respectivo intervalo (no caso de aproximar por retângulos contidos em R ) e a é o extremo superior do respectivo intervalo (no caso de aproximar por retângulos que contém R ).
(c) Encontre o valor exato dessa região R utilizando a definição de integral definida. Ou seja, escreva
integral0^1 x^3 d x
como o limite quando n infty da soma de Riemann de f no intervalo [0, 1]. Para isso, repita o procedimento descrito na letra ( b ) subdividindo [0,1] em n subintervalos e utilize a seguinte identidade:
sumi=1^n i^3=[n(n+1)2]^2
(d) Qual o erro cometido no cálculo da aproximação?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem a região
R=(x,y)colon xin[0,1],;0<= y<= x^3
ou seja, a área debaixo da curva y=x^3 e acima do eixo x, de x=0 até x=1.
Conteúdo: cálculo de área por somas de Riemann e integral definida.
O que vamos usar:
  • Partição do intervalo [0,1] em pedaços de largura De<a x.
  • Soma de retângulos (área ≈ base times altura).
  • Para a parte (c), a definição de integral como limite de soma de Riemann e a identidade
    sumi=1^n i^3=l[tfracn(n+1)2r]^2.

Passo 2

Primeiro, faça um esboço:
– Desenha os eixos x e y.
– Plota a curva y=x^3 entre x=0 (origem) e x=1 (ponto (1,1)).
– A região R é tudo que fica entre essa curva e o eixo x.

Passo 3

(b) Aproximação por retângulos com 4 subintervalos 0,tfrac14,tfrac12,tfrac34,1.
  1. Calcular De<a x=(1-0)/4=tfrac14.
  2. Soma inferior (retângulos contidos em R): altura em cada subintervalo pelo extremo \emph{esquerdo}.
    • Pontos x0=0, x1=tfrac14, x2=tfrac12, x3=tfrac34.
    • Alturas f(0)=0, f(tfrac14)=(tfrac14)^3=tfrac164, f(tfrac12)=tfrac18, f(tfrac34)=tfrac2764.
    • Soma
Srm inf =sumi=1^4 f(xi-1),De<a x =l(0+tfrac164+tfrac18+tfrac2764r)timestfrac14 =tfrac964approx0,140625
  1. Soma superior (retângulos que contêm R): altura pelo extremo \emph{direito}.
    • Pontos x1=tfrac14, x2=tfrac12, x3=tfrac34, x4=1.
    • Alturas iguais às do item anterior, mais f(1)=1.
    • Soma
Srm sup =l(tfrac164+tfrac18+tfrac2764+1r)timestfrac14 =tfrac2564approx0,390625

Passo 4

(c) Área exata via definição de integral (limite de soma de Riemann).
  1. Partition em n subintervalos iguais: De<a x=(1-0)/n=1/n.
  2. Escolhe, por exemplo, o extremo direito xi=i/n.
  3. Soma de Riemann
Sn =sumi=1^n fl(xir),De<a x =sumi=1^nl(tfracinr)^3cdottfrac1n =1n^4sumi=1^n i^3 =1n^4l[tfracn(n+1)2r]^2 =(n+1)^24n^2
  1. Fazendo ntoinfty,
limntoinftySn =limntoinfty(n+1)^24n^2 =14
Logo
A(R)=integral0^1 x^3,dx = 14

Passo 5

(d) Erro das aproximações: diferença entre o aproximado e o valor exato 1/4.
  • Erro na soma inferior:
l|tfrac14 - tfrac964r| =tfrac16-964 =tfrac764approx0,109375
  • Erro na soma superior:
l|tfrac2564-tfrac14r| =tfrac25-1664 =tfrac964approx0,140625

Resposta

Então, resumindo tudo:
  • (a) Esboço: região abaixo de y=x^3 de x=0 a x=1.
  • (b) Soma inferior Srm inf=9/64approx0,1406, soma superior Srm sup=25/64approx0,3906.
  • (c) Área exata integral0^1 x^3,dx = tfrac14=0,25.
  • (d) Erro inferior 7/64approx0,1094, erro superior 9/64approx0,1406.

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