Determine a massa e o centro de massa do hemisfério sólido de raio
se a densidade em qualquer ponto for proporcional à sua distância da base.
Passo 1
Beleza, a questão diz: “Temos um hemisfério sólido de raio
com densidade em cada ponto proporcional à distância até a base.” Em outras palavras, se a base é o plano
, então
.
Conteúdo: cálculo de massa e centro de massa via integral tripla em coordenadas cilíndricas.
O que vamos precisar:
Conteúdo: cálculo de massa e centro de massa via integral tripla em coordenadas cilíndricas.
O que vamos precisar:
- Saber montar
. - Saber montar o centro de massa
. - Usar coordenadas cilíndricas
porque o sólido é “redondo”.
Passo 2
Massa
:
Em cilindricas:
Logo
Passo 3
Calcular
:
- Integramos em
:
- Então
- Resolver
. - Logo
Passo 4
Coordenada
do centro de massa:
Em cilindricas:
Passo 5
Calcular
:
- Em
:
- Então
- Fazendo
, dá
- Logo
- Então
Resposta
Massa:
Centro de massa (eixo
):