Determine a massa e o centro de massa do hemisfério sólido de raio a se a densidade em qualquer ponto for proporcional à sua distância da base.

Passo 1

Beleza, a questão diz: “Temos um hemisfério sólido de raio a com densidade em cada ponto proporcional à distância até a base.” Em outras palavras, se a base é o plano z=0, então
rho(x,y,z)=k,z.
Conteúdo: cálculo de massa e centro de massa via integral tripla em coordenadas cilíndricas.
O que vamos precisar:
  1. Saber montar M=integral triplaVrho,dV.
  2. Saber montar o centro de massa
    zG=1Mintegral triplaV z,rho,dV.
  3. Usar coordenadas cilíndricas (r,theta,z) porque o sólido é “redondo”.

Passo 2

Massa M:
M ;=;integral triplaVrho,dV ;=;integral triplaV k,z,dV
Em cilindricas:
dV = r,dr,dtheta,dz, rin[0,a],;thetain[0,2pi],;zinl[0,raiza^2-r^2r]
Logo
M = kintegraltheta=0^2pi!!integralr=0^a!!integralz=0^raiza^2-r^2 z,(r,dz,dr,dtheta)

Passo 3

Calcular M:
  1. Integramos em z:
integral0^raiza^2-r^2 z,dz =12l(raiza^2-r^2r)^2 =12,(a^2-r^2)
  1. Então
M = kintegral0^2pi!dtheta;integral0^a 12,(a^2-r^2),r,dr = k,(2pi),12 integral0^al(a^2r - r^3r)dr
  1. Resolver integral0^a(a^2r - r^3),dr = l[tfraca^2r^22 - tfracr^44r]0^a = tfraca^42-tfraca^44=tfraca^44.
  2. Logo
M = k,2picdottfrac12cdottfraca^44 = kpi,a^44

Passo 4

Coordenada z do centro de massa:
zG = 1Mintegral triplaV z,rho,dV = 1M,kintegral triplaV z^2,dV
Em cilindricas:
integral triplaV z^2,dV =integral0^2pi!!integral0^a!!integral0^raiza^2-r^2 z^2,(r,dz,dr,dtheta)

Passo 5

Calcular integral triplaV z^2,dV:
  1. Em z:
    integral0^raiza^2-r^2 z^2,dz =13l(raiza^2-r^2r)^3 =(a^2-r^2)^3/23
  2. Então
integral triplaV z^2,dV = 2piintegral0^a (a^2-r^2)^3/23;r,dr = 2pi3integral0^a r,(a^2-r^2)^3/2dr
  1. Fazendo u=a^2-r^2, dá
    integral0^a r,(a^2-r^2)^3/2dr =12integralu=a^2^0u^3/2(-du) =12integral0^a^2u^3/2du =(a^2)^5/25/2cdot2 =a^55
  2. Logo
integral triplaV z^2,dV = 2pi3cdota^55 = 2pi,a^515
  1. Então
zG = k,(2pi,a^5/15)M = k,(2pi,a^5/15)(kpi,a^4/4) = 2pi,a^515cdot4pi,a^4 = 8a15

Resposta

Massa:
boxedM = kpi,a^44,
Centro de massa (eixo z):
boxedzG = 8,a15

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