Dado
pontos
. Qual é a condição sob estes pontos para que a reta obtida via mínimos quadrados linear para aproximar estes pontos seja equivalente a reta obtida pela interpolação de
e
?
Passo 1
Então, o enunciado diz o seguinte: temos n pontos
. Por um lado, dá pra ajustar uma reta por mínimos quadrados (regressão linear). Por outro, dá pra pegar só os pontos 1 e 2 e traçar a reta que passa exatamente por eles (interpolação). A pergunta é: em que situação essas duas retas “batem” exatamente, isto é, a reta de mínimos quadrados coincide com a reta de interpolação dos pontos 1 e 2?
Conteúdo envolvido: regressão linear pelo método dos mínimos quadrados e reta de interpolação. Vamos precisar das fórmulas do coeficiente angular e linear na regressão e do coeficiente angular e linear na interpolação.
Conteúdo envolvido: regressão linear pelo método dos mínimos quadrados e reta de interpolação. Vamos precisar das fórmulas do coeficiente angular e linear na regressão e do coeficiente angular e linear na interpolação.
Passo 2
Primeiro, me lembro da reta que interpola
e
. O coeficiente angular (slope) é
e o intercepto (coef. linear) é
Logo a reta de interpolação é
Passo 3
Agora a reta de mínimos quadrados sobre todos os n pontos tem coeficiente angular
onde
e
.
O intercepto é
O intercepto é
A gente quer a linha de mínimos quadrados ser exatamente igual a
. Então precisamos de
Passo 4
Quando é que
e
? Se você pensar, para a reta de mínimos quadrados ser igual à reta de interpolação, todos os resíduos
têm que ser zero. Ou seja, cada ponto
deve satisfazer
Substituindo
e
, dá a condição de colinearidade: para todo
,
ou de forma equivalente
Resposta
A reta de mínimos quadrados coincide com a reta de interpolação de
e
se, e somente se, todos os
pontos forem colineares com esses dois primeiros, isto é, satisfizerem