Dado n pontos (x1, y1),(x2, y2), ldots,(xn, yn). Qual é a condição sob estes pontos para que a reta obtida via mínimos quadrados linear para aproximar estes pontos seja equivalente a reta obtida pela interpolação de (x1, y1) e (x2, y2) ?

Passo 1

Então, o enunciado diz o seguinte: temos n pontos . Por um lado, dá pra ajustar uma reta por mínimos quadrados (regressão linear). Por outro, dá pra pegar só os pontos 1 e 2 e traçar a reta que passa exatamente por eles (interpolação). A pergunta é: em que situação essas duas retas “batem” exatamente, isto é, a reta de mínimos quadrados coincide com a reta de interpolação dos pontos 1 e 2?
Conteúdo envolvido: regressão linear pelo método dos mínimos quadrados e reta de interpolação. Vamos precisar das fórmulas do coeficiente angular e linear na regressão e do coeficiente angular e linear na interpolação.

Passo 2

Primeiro, me lembro da reta que interpola a0 ;=;y2 - y1x2 - x1, e b0 ;=; y1 ;-; a0,x1 . O coeficiente angular (slope) é
y = a0,x + b0
e o intercepto (coef. linear) é
Logo a reta de interpolação é

Passo 3

Agora a reta de mínimos quadrados sobre todos os n pontos tem coeficiente angular
hat a ;=;sumi=1^n (xi - bar x),(yi - bar y) sumi=1^n (xi - bar x)^2,
onde
hat b = bar y - hat a,bar x e hat a = a0 e hat b = b0 .
O intercepto é
A gente quer a linha de mínimos quadrados ser exatamente igual a . Então precisamos de

Passo 4

Quando é que yi = a0,xi + b0 e yi - y1 ;=; y2 - y1x2 - x1,(xi - x1), ? Se você pensar, para a reta de mínimos quadrados ser igual à reta de interpolação, todos os resíduos (x2 - x1),(yi - y1) ;=; (y2 - y1),(xi - x1) têm que ser zero. Ou seja, cada ponto deve satisfazer
Substituindo e , dá a condição de colinearidade: para todo ,
ou de forma equivalente

Resposta

A reta de mínimos quadrados coincide com a reta de interpolação de (x2 - x1),(yi - y1) ;=; (y2 - y1),(xi - x1) para todo i=1,dots,n e se, e somente se, todos os pontos forem colineares com esses dois primeiros, isto é, satisfizerem

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