Mostre que se a quadratura Gaussiana calcula exatamente a integral da funções
e
, esta calculará exatamente a integral da função
para constantes
e
arbitrárias.
Passo 1
Então, o enunciado diz o seguinte: a regra de quadratura de Gauss consegue calcular exatamente
∫ₐᵇ1·w(x)dx, ∫ₐᵇx·w(x)dx e ∫ₐᵇx²·w(x)dx
onde w(x) é o peso (ou 1, no caso mais simples). A gente precisa mostrar que, se isso já funciona pra esses três “blocos” 1, x e x², então pra qualquer combinação linear deles
f(x)=A+Bx+Cx²
também vai funcionar perfeitamente.
O conteúdo aqui é:
∫ₐᵇ1·w(x)dx, ∫ₐᵇx·w(x)dx e ∫ₐᵇx²·w(x)dx
onde w(x) é o peso (ou 1, no caso mais simples). A gente precisa mostrar que, se isso já funciona pra esses três “blocos” 1, x e x², então pra qualquer combinação linear deles
f(x)=A+Bx+Cx²
também vai funcionar perfeitamente.
O conteúdo aqui é:
- Propriedade de linearidade da integral e da própria regra de quadratura;
- Espaço de polinômios de grau até 2.
Passo 2
Primeiro, lembra que a integral tem uma propriedade de linearidade: para qualquer funções g e h e constantes α, β,
∫(αg(x)+βh(x))w(x)dx = α∫g(x)w(x)dx + β∫h(x)w(x)dx.
A mesma ideia vale pra qualquer regra de quadratura Q, porque ela é da forma
Q[f] = ∑_{i=1}^n w_i·f(x_i),
logo também é linear:
Q[αg+βh] = αQ[g] + βQ[h].
∫(αg(x)+βh(x))w(x)dx = α∫g(x)w(x)dx + β∫h(x)w(x)dx.
A mesma ideia vale pra qualquer regra de quadratura Q, porque ela é da forma
Q[f] = ∑_{i=1}^n w_i·f(x_i),
logo também é linear:
Q[αg+βh] = αQ[g] + βQ[h].
Passo 3
Agora escrevemos nossa função f(x)=A+Bx+Cx² como combinação linear de 1, x e x². Aplicando a integral:
∫ₐᵇf(x)w(x)dx = ∫ₐᵇ(A+Bx+Cx²)w(x)dx
= A∫ₐᵇ1·w(x)dx + B∫ₐᵇx·w(x)dx + C∫ₐᵇx²·w(x)dx.
Do mesmo jeito, a quadratura dá
Q[f] = A·Q[1] + B·Q[x] + C·Q[x²].
∫ₐᵇf(x)w(x)dx = ∫ₐᵇ(A+Bx+Cx²)w(x)dx
= A∫ₐᵇ1·w(x)dx + B∫ₐᵇx·w(x)dx + C∫ₐᵇx²·w(x)dx.
Do mesmo jeito, a quadratura dá
Q[f] = A·Q[1] + B·Q[x] + C·Q[x²].
Passo 4
Pelo enunciado, a quadratura já é exata pra 1, x e x², ou seja:
Q[1]=∫1·w, Q[x]=∫x·w, Q[x²]=∫x²·w.
Substituindo isso em Q[f], temos:
Q[f] = A∫1·w + B∫x·w + C∫x²·w = ∫(A+Bx+Cx²)w = ∫f·w.
Pronto, bate exatamente com a integral de f.
Q[1]=∫1·w, Q[x]=∫x·w, Q[x²]=∫x²·w.
Substituindo isso em Q[f], temos:
Q[f] = A∫1·w + B∫x·w + C∫x²·w = ∫(A+Bx+Cx²)w = ∫f·w.
Pronto, bate exatamente com a integral de f.
Resposta
Como a quadratura é exata sobre os polinômios 1, x e x² e ela é linear, qualquer combinação A+Bx+Cx² também será integrada exatamente.