Considere integral1^e ln (x) d x.
Use regra do Trapézio aberta para aproximar o valor da integral e calcule o erro.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente aproximar a integral
integral1^eln(x),dx
usando a regra do trapézio aberta (que é um caso de Newton–Cotes aberto com dois pontos internos) e depois calcular o erro.
Conteúdo que vamos usar:
  • Definição da regra do trapézio aberta para um único painel,
  • Cálculo da integral exata pra comparar,
  • Fórmula de estimativa de erro baseada em .

Passo 2

Primeiro a teoria rápida do trapézio aberto:
  1. A gente divide o intervalo x1 = a + h, x2 = a + 2h sem usar os extremos, pegando dois pontos internos: h = b-a3 com integrala^b f(x),dx approx b-a2,l[f(x1)+f(x2)r]
  2. A regra diz b-a = e-1, h = e-13
No nosso caso, x1 = 1 + e-13, x2 = 1 + 2cdote-13 e , então
Logo

Passo 3

Calculando numericamente:
e-1approx1,71828, happrox0,57276,
x1approx1,57276, x2approx2,14552
Como f(x1)=ln(1,57276)approx0,452, f(x2)=ln(2,14552)approx0,763 ,
integral1^eln(x),dx approx e-12,l(0,452+0,763r) approx 1,718282times1,215 approx1,045
Logo a aproximação é

Passo 4

Agora a integral exata está na teoria de integração por partes:
integral ln(x),dx = xln(x)-x + C
Então
integral1^eln(x),dx = l[ecdot1 - er] - l[1cdot0 - 1r] = 0 -(-1) = 1

Passo 5

O erro real (diferença entre exato e aproximado) é
Erm real = 1 - 1,045 = -0,045 Longrightarrow |Erm real|approx0,045
Pra estimar o erro máximo usamos a fórmula (aberta, grau 1):
|E|<= (b-a)^312,maxxin[a,b]|f''(x)|
Aqui |E|<= (e-1)^312approx1,71828^312approx0,423 , e em é (em ).
Então

Resposta

Aproximação pela regra do trapézio aberta:
boxed1,045
Erro real: .
Estimativa de erro (cota): .

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