Considere
.
Use regra do Trapézio aberta para aproximar o valor da integral e calcule o erro.
Use regra do Trapézio aberta para aproximar o valor da integral e calcule o erro.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente aproximar a integral
usando a regra do trapézio aberta (que é um caso de Newton–Cotes aberto com dois pontos internos) e depois calcular o erro.
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- Definição da regra do trapézio aberta para um único painel,
- Cálculo da integral exata pra comparar,
- Fórmula de estimativa de erro baseada em
.
Passo 2
Primeiro a teoria rápida do trapézio aberto:
- A gente divide o intervalo
sem usar os extremos, pegando dois pontos internos: com - A regra diz
No nosso caso,
e
, então
Logo
Passo 3
Calculando numericamente:
Como
,
Logo a aproximação é
Passo 4
Agora a integral exata está na teoria de integração por partes:
Então
Passo 5
O erro real (diferença entre exato e aproximado) é
Pra estimar o erro máximo usamos a fórmula (aberta, grau 1):
Aqui
, e
em
é
(em
).
Então
Então
Resposta
Aproximação pela regra do trapézio aberta:
Erro real:
.
Estimativa de erro (cota): .
Estimativa de erro (cota):