Qual é a diferença entre a regra do Trapézio aberta e Quadratura Gaussiana com dois pontos (n=1) ?

Passo 1

Beleza, o enunciado tá perguntando qual é a diferença entre a “regra do Trapézio aberta” (que é uma Newton-Cotes aberta de ordem 1) e a “Quadratura de Gauss com dois pontos” (ou seja, n=1, que te dá 2 nós). Isso tudo faz parte de Métodos Numéricos de Integração. Para responder, vamos precisar:
  1. Definir como cada regra escolhe os pontos (nós) e pesos.
  2. Falar do grau de precisão de cada método (até que grau de polinômio a regra é exata).
  3. Comparar resultados gerais.

Passo 2

Regra do Trapézio Aberta (Newton-Cotes aberta, ordem 1)
  1. Intervalo de integração: x1 = a + tfracb-a3, x2 = a + tfrac2(b-a)3 .
  2. Ela não usa os extremos integrala^b f(x),dx approx b-a2,l[f(x1)+f(x2)r] e , mas somente dois pontos internos igualmente espaçados:
  3. Os pesos são iguais: cada ponto recebe peso .
  4. Fórmula:
  5. Grau de precisão: exata para polinômios até grau 1 (reta). Se for polinômio de grau 2 ou maior, já pode dar erro.

Passo 3

Quadratura de Gauss com dois pontos (n=1, 2 nós)
  1. Também integra em x1,2 = a+b2 pm b-a2raiz3 , mas escolhe pontos ótimos para maximizar a precisão.
  2. Primeiro mapeia integrala^b f(x),dx approx b-a2,l[f(x1)+f(x2)r], para , faz a Gauss-Legendre com nós em , .
  3. Depois leva de volta a via
  4. Ambos os pesos na regra de Gauss-Legendre para 2 nós valem 1 (antes do mapeamento). Após ajustar o comprimento do intervalo, cada peso fica .
  5. Fórmula: mas com esses “óptimos”.
  6. Grau de precisão: exata para polinômios até grau 3.

Passo 4

Comparando:
  • Nós
    • Trapézio aberta: e (espaço igual, mas “buraco” nas bordas).
    • Gauss 2 pontos: (pontos não uniformes, escolhidos pra otimizar a soma de pesos).
  • Pesos after scaling: ambos usam em cada nó, mas só a Gauss garante grau 3.
  • Precisão
    • Trapézio aberta: exata para polinômios de grau ≤1.
    • Gauss 2 pontos: exata para polinômios de grau ≤3.

Resposta

A regra do Trapézio aberta usa dois pontos igualmente espaçados no interior de [a,b] e é exata só até polinômios de grau 1. A Quadratura de Gauss de 2 pontos escolhe pontos ótimos , tem os mesmos pesos após escalar, mas é exata até polinômios de grau 3.

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