Qual é a diferença entre a regra do Trapézio aberta e Quadratura Gaussiana com dois pontos
?
Passo 1
Beleza, o enunciado tá perguntando qual é a diferença entre a “regra do Trapézio aberta” (que é uma Newton-Cotes aberta de ordem 1) e a “Quadratura de Gauss com dois pontos” (ou seja, n=1, que te dá 2 nós). Isso tudo faz parte de Métodos Numéricos de Integração. Para responder, vamos precisar:
- Definir como cada regra escolhe os pontos (nós) e pesos.
- Falar do grau de precisão de cada método (até que grau de polinômio a regra é exata).
- Comparar resultados gerais.
Passo 2
Regra do Trapézio Aberta (Newton-Cotes aberta, ordem 1)
- Intervalo de integração:
. - Ela não usa os extremos
e , mas somente dois pontos internos igualmente espaçados: - Os pesos são iguais: cada ponto recebe peso
. - Fórmula:
- Grau de precisão: exata para polinômios até grau 1 (reta). Se
for polinômio de grau 2 ou maior, já pode dar erro.
Passo 3
Quadratura de Gauss com dois pontos (n=1, 2 nós)
- Também integra em
, mas escolhe pontos ótimos para maximizar a precisão. - Primeiro mapeia
para , faz a Gauss-Legendre com nós em , . - Depois leva de volta a
via - Ambos os pesos na regra de Gauss-Legendre para 2 nós valem 1 (antes do mapeamento). Após ajustar o comprimento do intervalo, cada peso fica
. - Fórmula:
mas com esses “óptimos”. - Grau de precisão: exata para polinômios até grau 3.
Passo 4
Comparando:
- Nós
• Trapézio aberta:e (espaço igual, mas “buraco” nas bordas).
• Gauss 2 pontos:(pontos não uniformes, escolhidos pra otimizar a soma de pesos). - Pesos after scaling: ambos usam
em cada nó, mas só a Gauss garante grau 3. - Precisão
• Trapézio aberta: exata para polinômios de grau ≤1.
• Gauss 2 pontos: exata para polinômios de grau ≤3.
Resposta
A regra do Trapézio aberta usa dois pontos igualmente espaçados no interior de [a,b] e é exata só até polinômios de grau 1. A Quadratura de Gauss de 2 pontos escolhe pontos ótimos
, tem os mesmos pesos após escalar, mas é exata até polinômios de grau 3.