Considere uma interação Compton na qual a energia cinética do elétron de recuo é 2 MeV . Calcule a energia mínima do fóton incidente para que esta interação ocorra
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de interação Compton, que é quando um fóton (partícula de luz) bate em um elétron e troca energia com ele. A gente precisa calcular a energia mínima do fóton incidente para que, nessa interação, o elétron receba uma energia cinética de 2 MeV. Para resolver isso, vamos usar a teoria da Compton e as leis de conservação de energia e momento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula de Compton, que relaciona a mudança de comprimento de onda do fóton com o ângulo de espalhamento:
Onde:
-
é a mudança no comprimento de onda, -
é a constante de Planck, -
é a massa do elétron, -
é a velocidade da luz, -
é o ângulo de espalhamento.
Para encontrar a energia mínima do fóton, precisamos considerar o caso onde a transferência de energia para o elétron é maximizada, o que ocorre quando o ângulo
(ou seja, o fóton é espalhado diretamente para trás).
Passo 3
Agora, vamos relacionar a energia do fóton com o comprimento de onda usando a fórmula:
Onde
é a energia do fóton. Precisamos encontrar a energia incidente
que permite que o elétron receba 2 MeV. Primeiro, vamos expressar a energia cinética do elétron em termos das energias do fóton antes e depois da colisão:
Onde
é a energia do fóton após a colisão. Usando a conservação de momento e energia, podemos derivar a relação entre
e
, mas para simplificar, já sabemos que a energia transferida máxima ocorre em
, então podemos usar a expressão direta:
Aqui,
é a energia de repouso do elétron, que é aproximadamente
MeV.
Passo 4
Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
Agora, vamos resolver essa equação para
. Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Reorganizando a equação:
Passo 5
Agora, temos uma equação quadrática na forma
, onde:
-
, -
, -
.
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Calculando o discriminante:
Então:
Como a energia não pode ser negativa, descartamos a solução negativa:
Resposta
A energia mínima do fóton incidente necessária para que o elétron de recuo tenha uma energia cinética de 2 MeV é aproximadamente 2,42 MeV.