Considere uma interação Compton na qual a energia cinética do elétron de recuo é 2 MeV . Calcule a energia mínima do fóton incidente para que esta interação ocorra (EK=2 MeV).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de interação Compton, que é quando um fóton (partícula de luz) bate em um elétron e troca energia com ele. A gente precisa calcular a energia mínima do fóton incidente para que, nessa interação, o elétron receba uma energia cinética de 2 MeV. Para resolver isso, vamos usar a teoria da Compton e as leis de conservação de energia e momento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de Compton, que relaciona a mudança de comprimento de onda do fóton com o ângulo de espalhamento:
De
Onde:
  • De é a mudança no comprimento de onda,
  • h é a constante de Planck,
  • me é a massa do elétron,
  • c é a velocidade da luz,
  • theta é o ângulo de espalhamento.
Para encontrar a energia mínima do fóton, precisamos considerar o caso onde a transferência de energia para o elétron é maximizada, o que ocorre quando o ângulo theta = 180° (ou seja, o fóton é espalhado diretamente para trás).

Passo 3

Agora, vamos relacionar a energia do fóton com o comprimento de onda usando a fórmula:
E = hclambda
Onde E é a energia do fóton. Precisamos encontrar a energia incidente Ei que permite que o elétron receba 2 MeV. Primeiro, vamos expressar a energia cinética do elétron em termos das energias do fóton antes e depois da colisão:
EK = Ei - Ef
Onde Ef é a energia do fóton após a colisão. Usando a conservação de momento e energia, podemos derivar a relação entre Ei e Ef, mas para simplificar, já sabemos que a energia transferida máxima ocorre em theta = 180°, então podemos usar a expressão direta:
EK = Ei^2Ei + me c^2
Aqui, me c^2 é a energia de repouso do elétron, que é aproximadamente 0,511 MeV.

Passo 4

Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
2 , MeV = Ei^2Ei + 0,511 , MeV
Agora, vamos resolver essa equação para Ei. Multiplicando ambos os lados por (Ei + 0,511):
2(Ei + 0,511) = Ei^2
Simplificando:
2Ei + 1,022 = Ei^2
Reorganizando a equação:
Ei^2 - 2Ei - 1,022 = 0

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática na forma aEi^2 + bEi + c = 0, onde:
  • a = 1,
  • b = -2,
  • c = -1,022.
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Ei = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo os valores:
Ei = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-1,022)2
Calculando o discriminante:
raiz4 + 4,088 = raiz8,088 approx 2,843 , MeV
Então:
Ei = 2 pm 2,8432
Como a energia não pode ser negativa, descartamos a solução negativa:
Ei = 2 + 2,8432 = 4,8432 approx 2,4215 , MeV

Resposta

A energia mínima do fóton incidente necessária para que o elétron de recuo tenha uma energia cinética de 2 MeV é aproximadamente 2,42 MeV.

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