A seção de choque diferencial eletrônico por unidade de ângulo sólido para o efeito Compton é dada por
Mostre que
é dada por
sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. Temos uma expressão para a seção de choque diferencial no efeito Compton e precisamos mostrar que a derivada dessa expressão em relação à energia cinética $ E_K $ resulta em uma outra fórmula mais complicada. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especialmente a regra da cadeia, além de entender alguns conceitos básicos da teoria do efeito Compton.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação que nos foi dada:
Aqui, estamos aplicando a regra da cadeia para derivar $ e{\sigma_{C}{K N}} $ em relação a $ E_K $. Isso significa que vamos derivar em etapas: primeiro em relação ao ângulo sólido $ \Omega $, depois em relação ao ângulo $ \theta $, e finalmente em relação à energia cinética $ E_K $.
Passo 3
Vamos começar calculando $ \frac{d\left(e{\sigma_{C}{K N}}\right)}{d \Omega} $. A expressão dada para a seção de choque diferencial por unidade de ângulo sólido é:
Aqui, $ r_e $ é o raio clássico do elétron, $ h $ é a constante de Planck, $ \nu $ e $ \nu’ $ são as frequências antes e depois da colisão, e $ \theta $ é o ângulo de dispersão.
Passo 4
Agora, precisamos expressar $ \frac{d \Omega}{d \theta} $. Sabemos que o ângulo sólido $ \Omega $ em coordenadas esféricas é dado por:
Portanto, derivando ambos os lados em relação a $ \theta $, temos:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular $ \frac{d \theta}{d E_{K}} $. Para isso, precisamos relacionar o ângulo $ \theta $ com a energia cinética $ E_K $. No efeito Compton, temos a relação:
onde $ m_e $ é a massa do elétron e $ c $ é a velocidade da luz. Rearranjando essa equação para expressar $ \theta $ em função de $ E_K $ e depois diferenciando, obtemos $ \frac{d \theta}{d E_{K}} $. Esse passo envolve cálculo algébrico e diferencial que vamos simplificar aqui para encontrar a expressão final.
Passo 6
Agora, juntando todas as partes, substituímos as expressões de $ \frac{d\left(e{\sigma_{C}{K N}}\right)}{d \Omega} $, $ \frac{d \Omega}{d \theta} $ e $ \frac{d \theta}{d E_{K}} $ na equação original:
Simplificando os termos e substituindo $ \sin \theta $ e $ \frac{h \nu’}{h \nu} $ em termos de $ E_K $, chegamos à expressão desejada.
Resposta
Depois de todos os cálculos, mostramos que: