Considere uma interação Compton na qual a energia cinética do elétron de recuo é 2 MeV . Derive uma expressão geral para a energia do fóton incidente em função da energia cinética do elétron de retorno.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre interação Compton, que é quando um fóton (uma partícula de luz) bate em um elétron e troca energia com ele. No caso, a energia cinética do elétron que “caiu na maluca” foi de 2 MeV. Nosso objetivo é encontrar uma expressão que nos diga qual é a energia do fóton que bateu no elétron, em função dessa energia cinética do elétron de retorno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da interação Compton. Ela relaciona o comprimento de onda do fóton incidente (
) com o comprimento de onda do fóton espalhado (
):
Aqui:
- $ h $ é a constante de Planck,
- $ m_e $ é a massa do elétron,
- $ c $ é a velocidade da luz,
- $ \theta $ é o ângulo de espalhamento.
Passo 3
No nosso caso, queremos relacionar as energias dos fótons e a energia cinética do elétron. Sabemos que a energia de um fóton está relacionada ao seu comprimento de onda pela fórmula:
Então, podemos reescrever a diferença de energias dos fótons espalhados e incidentes.
Passo 4
Vamos considerar que todo o excesso de energia do fóton incidente em relação ao espalhado vai para o elétron de recuo. Então, podemos escrever:
Onde:
- $ E_i $ é a energia do fóton incidente,
- $ E_f $ é a energia do fóton espalhado,
- $ T $ é a energia cinética do elétron de retorno (2 MeV).
Passo 5
Agora, usando a relação entre energia e comprimento de onda, temos:
Substituindo na equação anterior:
Passo 6
Dividindo os dois lados por $ h c $:
Lembrando da fórmula de Compton:
Podemos reorganizar para encontrar $ \frac{1}{\lambda_i} $:
Passo 7
Mas essa abordagem está ficando complicada. Vamos simplificar usando as energias. Sabemos que a relação entre as energias e os comprimentos de onda é inversa. Então, podemos reescrever a diferença $ E_i - E_f $ em termos das energias.
Usando a conservação de energia e momento, a expressão geral que relaciona $ E_i $ e $ T $ é:
Resposta
Portanto, a expressão geral para a energia do fóton incidente $ E_i $ em função da energia cinética do elétron de retorno $ T $ é:
Onde:
- $ T $ é a energia cinética do elétron de recuo (2 MeV),
- $ m_e $ é a massa do elétron,
- $ c $ é a velocidade da luz.