Considere uma interação Compton na qual a energia cinética do elétron de recuo é 2 MeV . Derive uma expressão geral para a energia do fóton incidente em função da energia cinética do elétron de retorno.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre interação Compton, que é quando um fóton (uma partícula de luz) bate em um elétron e troca energia com ele. No caso, a energia cinética do elétron que “caiu na maluca” foi de 2 MeV. Nosso objetivo é encontrar uma expressão que nos diga qual é a energia do fóton que bateu no elétron, em função dessa energia cinética do elétron de retorno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da interação Compton. Ela relaciona o comprimento de onda do fóton incidente ( lambdai) com o comprimento de onda do fóton espalhado ( lambdaf):
lambdaf - lambdai = hme c (1 - cos theta)
Aqui:
  • $ h $ é a constante de Planck,
  • $ m_e $ é a massa do elétron,
  • $ c $ é a velocidade da luz,
  • $ \theta $ é o ângulo de espalhamento.

Passo 3

No nosso caso, queremos relacionar as energias dos fótons e a energia cinética do elétron. Sabemos que a energia de um fóton está relacionada ao seu comprimento de onda pela fórmula:
E = h clambda
Então, podemos reescrever a diferença de energias dos fótons espalhados e incidentes.

Passo 4

Vamos considerar que todo o excesso de energia do fóton incidente em relação ao espalhado vai para o elétron de recuo. Então, podemos escrever:
Ei - Ef = T
Onde:
  • $ E_i $ é a energia do fóton incidente,
  • $ E_f $ é a energia do fóton espalhado,
  • $ T $ é a energia cinética do elétron de retorno (2 MeV).

Passo 5

Agora, usando a relação entre energia e comprimento de onda, temos:
Ei = h clambdai e Ef = h clambdaf
Substituindo na equação anterior:
h clambdai - h clambdaf = T

Passo 6

Dividindo os dois lados por $ h c $:
h c
Lembrando da fórmula de Compton:
1lambdai - 1lambdaf = Th c
Podemos reorganizar para encontrar $ \frac{1}{\lambda_i} $:
lambdaf - lambdai = hme c (1 - cos theta)

Passo 7

Mas essa abordagem está ficando complicada. Vamos simplificar usando as energias. Sabemos que a relação entre as energias e os comprimentos de onda é inversa. Então, podemos reescrever a diferença $ E_i - E_f $ em termos das energias.
Usando a conservação de energia e momento, a expressão geral que relaciona $ E_i $ e $ T $ é:

Resposta

Portanto, a expressão geral para a energia do fóton incidente $ E_i $ em função da energia cinética do elétron de retorno $ T $ é:
Ei
Onde:
  • $ T $ é a energia cinética do elétron de recuo (2 MeV),
  • $ m_e $ é a massa do elétron,
  • $ c $ é a velocidade da luz.

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