A seção de choque diferencial eletrônico por unidade de ângulo sólido para o efeito Compton é dada por
Construa os gráficos de
em função de
para
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma expressão para a seção de choque diferencial no efeito Compton, que é basicamente uma maneira de descrever como os fótons (partículas de luz) espalham quando colidem com elétrons. O objetivo aqui é construir gráficos da função $ F_{KN}(\epsilon, \theta) $ em função do ângulo $ \theta $ para diferentes valores de $ \epsilon $ (0, 5, 1, 10) no intervalo de $ 0^{\circ} $ a $ 180^{\circ} $. Para isso, vamos precisar entender a fórmula fornecida, saber como relacionar $ \epsilon $ e $ \theta $, e usar um software ou ferramenta de plotagem para visualizar os gráficos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que nos foi dada:
Aqui:
- $ \frac{d\sigma_{C}^{KN}}{d\Omega} $ é a seção de choque diferencial no efeito Compton.
- $ r_e $ é o raio clássico do elétron.
- $ h $ é a constante de Planck.
- $ \nu $ e $ \nu’ $ são as frequências do fóton antes e depois da colisão.
- $ \theta $ é o ângulo de espalhamento.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão. Primeiro, notamos que $ h \nu $ é a energia do fóton antes da colisão ($ E = h \nu $) e $ h \nu’ $ é a energia após a colisão. No efeito Compton, a relação entre $ \nu $ e $ \nu’ $ é dada por:
Onde $ m_e $ é a massa do elétron e $ c $ é a velocidade da luz. Para facilitar nossos cálculos, podemos definir $ \epsilon = \frac{h \nu}{m_e c^2} $, que é uma forma não adimensional da energia do fóton antes da colisão.
Passo 4
Com isso, podemos reescrever a relação entre as frequências como:
Isso nos ajuda a expressar $ \frac{h \nu’}{h \nu} $ em termos de $ \epsilon $ e $ \theta $:
Vamos chamar essa razão de $ \kappa $:
Passo 5
Substituindo $ \kappa $ na expressão original da seção de choque diferencial, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro do parênteses:
Para facilitar, vamos calcular cada parte:
- $ \kappa = \frac{1}{1 + \epsilon (1 - \cos \theta)} $
- $ \frac{1}{\kappa} = 1 + \epsilon (1 - \cos \theta) $
- $ \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta $
Então, substituindo:
Passo 6
Agora, vamos definir a função $ F_{KN}(\epsilon, \theta) $ como sendo a parte que depende de $ \epsilon $ e $ \theta $ na expressão da seção de choque diferencial:
Nosso objetivo é plotar $ F_{KN}(\epsilon, \theta) $ em função de $ \theta $ para diferentes valores de $ \epsilon $.
Passo 7
Para criar os gráficos, vamos seguir estes passos:
- Escolher os valores de $ \epsilon $: 0, 0.5, 1, 10.
- Para cada $ \epsilon $, calcular $ \kappa $ em função de $ \theta $ variando de $ 0^{\circ} $ a $ 180^{\circ} $.
- Calcular $ F_{KN}(\epsilon, \theta) $ usando a expressão definida.
- Plotar $ F_{KN}(\epsilon, \theta) $ versus $ \theta $ para cada $ \epsilon $.
Passo 8
Vamos utilizar um software como Python com a biblioteca Matplotlib para realizar os cálculos e plotagens. Abaixo está um exemplo de como isso pode ser feito:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Constantes
r_e = 2.818e-15 # raio clássico do elétron em metros
# Função F_KN
def F_KN(epsilon, theta):
theta_rad = np.radians(theta)
kappa = 1 / (1 + epsilon * (1 - np.cos(theta_rad)))
term1 = kappa
term2 = 1 / kappa
term3 = np.sin(theta_rad)**2
return kappa**2 * (term1 + term2 - term3)
# Valores de epsilon
epsilons = [0, 0.5, 1, 10]
theta = np.linspace(0, 180, 360) # de 0 a 180 graus
plt.figure(figsize=(10, 6))
for eps in epsilons:
F = F_KN(eps, theta)
plt.plot(theta, F, label=f'ε = {eps}')
plt.xlabel('θ (graus)')
plt.ylabel('$F_{KN}(ε, θ)$')
plt.title('Gráficos de $F_{KN}(ε, θ)$ em função de θ')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
Passo 9
Ao rodar o código acima, você obterá um gráfico com curvas diferentes para cada valor de $ \epsilon $. Cada curva mostra como $ F_{KN}(\epsilon, \theta) $ varia com o ângulo $ \theta $ para um $ \epsilon $ específico. Assim, você poderá visualizar como a seção de choque diferencial depende do ângulo de espalhamento e da energia inicial do fóton.
Resposta
Seguindo os passos acima, você obterá os gráficos de $ F_{KN}(\epsilon, \theta) $ em função de $ \theta $ para os valores de $ \epsilon = 0, 0.5, 1, 10 $, no intervalo de $ 0^{\circ} $ a $ 180^{\circ} $. Esses gráficos ilustram como a seção de choque diferencial no efeito Compton varia com o ângulo de espalhamento para diferentes energias iniciais do fóton.