Considere o intervalo I=[0,1] da reta. Seja C(I) o conjunto das funções contínuas definidas em I (ou seja, o conjunto de todas as funções do tipo f: I R, onde f é contínua). Definimos em C(I) as seguintes operações:
(f+g)(t) & =f(t)+g(t), para todo t in I (a f)(t) & =a cdot f(t), para todo t in I
Mostre que C(I) é espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
I = [0,1],
e
C(I) = ,fcolon ItoRmid f é contínua éí
As operações são dadas ponto a ponto por
(f+g)(t) = f(t)+g(t), (a f)(t) = a,f(t),
para todo tin I e ainR.
Queremos mostrar que C(I), munido dessas operações, satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R.

Passo 2

(Fechamento e existência de elemento nulo)
  1. Se f,gin C(I), então f+g é contínua em I porque soma de funções contínuas é contínua. Logo f+gin C(I).
  2. Se fin C(I) e ainR, então a,f é contínua porque produto de escalar com função contínua é contínua. Assim a,fin C(I).
  3. Defina a função zero ,0colon ItoR por ,0(t)=0. É contínua e satisfaz f+0=f para todo fin C(I).

Passo 3

(Propriedades da adição)
Para quaisquer f,g,hin C(I) e todo tin I:
  1. Associatividade:
l((f+g)+hr)(t) = (f+g)(t)+h(t) = l(f(t)+g(t)r)+h(t) = f(t)+l(g(t)+h(t)r) = (f+(g+h))(t)
  1. Comutatividade:
(f+g)(t)=f(t)+g(t)=g(t)+f(t)=(g+f)(t)
  1. Elemento inverso: Defina (-f)(t)=-f(t). Então (-f)in C(I) e
(f+(-f))(t)=f(t)+(-f(t))=0,
isto é, f+(-f)=0.

Passo 4

(Propriedades da multiplicação por escalar)
Para quaisquer f,gin C(I), a,binR e todo tin I:
  1. Identidade escalar:
1cdot f = f,
pois (1cdot f)(t)=1cdot f(t)=f(t).
2. Compatibilidade de escalas:
al(bfr) = (a b)f,
pois
l(a(bf)r)(t) = a,(bf(t)) = (ab),f(t) = l((ab)fr)(t)
  1. Distributividade em relação à soma de vetores:
a(f+g) = af + ag,
pois
l(a(f+g)r)(t) = al(f(t)+g(t)r) = a f(t) + a g(t) = (af)(t)+(ag)(t)
  1. Distributividade em relação à soma de escalares:
(a+b)f = af + bf,
pois
l((a+b)fr)(t) = (a+b),f(t) = a,f(t) + b,f(t) = (af)(t)+(bf)(t)

Resposta

Dessa forma C(I) satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R e, portanto, é um espaço vetorial.

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