Considere o intervalo
da reta. Seja
o conjunto das funções contínuas definidas em
(ou seja, o conjunto de todas as funções do tipo
, onde
é contínua). Definimos em
as seguintes operações:
Mostre que
é espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e
As operações são dadas ponto a ponto por
para todo
e
.
Queremos mostrar que , munido dessas operações, satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
.
Queremos mostrar que
Passo 2
(Fechamento e existência de elemento nulo)
- Se
, então é contínua em porque soma de funções contínuas é contínua. Logo . - Se
e , então é contínua porque produto de escalar com função contínua é contínua. Assim . - Defina a função zero
por . É contínua e satisfaz para todo .
Passo 3
(Propriedades da adição)
Para quaisquer e todo
:
Para quaisquer
- Associatividade:
- Comutatividade:
- Elemento inverso: Defina
. Então e
isto é,
.
Passo 4
(Propriedades da multiplicação por escalar)
Para quaisquer ,
e todo
:
Para quaisquer
- Identidade escalar:
pois
.
2. Compatibilidade de escalas:
2. Compatibilidade de escalas:
pois
- Distributividade em relação à soma de vetores:
pois
- Distributividade em relação à soma de escalares:
pois
Resposta
Dessa forma
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
e, portanto, é um espaço vetorial.