Mostre que
com as operações
é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
Vamos mostrar que o conjunto
, munido da adição
e da multiplicação escalar
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo
.
Passo 2
(Fechamento da adição) Dados
, temos
e
, logo
Passo 3
(Comutatividade da adição) Para quaisquer
,
Passo 4
(Associatividade da adição) Para quaisquer
,
,
e
portanto são iguais.
Passo 5
(Existência do elemento neutro) O vetor
satisfaz, para todo
,
Passo 6
(Existência de inverso aditivo) Para cada
tomamos
, pois
Passo 7
(Fechamento da multiplicação escalar) Para
e
, temos
e
, logo
Passo 8
(Compatibilidade com produto no corpo) Para
e
,
Passo 9
(Identidade escalar) Para todo
,
Passo 10
(Distributividade)
- Para
e ,
- Para
e ,
Resposta
Como todas as propriedades exigidas pela definição de espaço vetorial estão satisfeitas, concluímos que
com as operações dadas é, de fato, um espaço vetorial sobre
.