Mostre que R^2=(x, y) mid x, y in R com as operações
(x1, y1)+(x2, y2) & =(x1+x2 ; y1+y2) a(x, y) & =(a x, a y)
é um espaço vetorial sobre R.

Passo 1

Vamos mostrar que o conjunto R^2, munido da adição
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,;y1+y2)
e da multiplicação escalar
a,(x,y)=(a,x,;a,y),
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo R.

Passo 2

(Fechamento da adição) Dados (x1,y1),(x2,y2)inR^2, temos x1+x2inR e y1+y2inR, logo
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)inR^2

Passo 3

(Comutatividade da adição) Para quaisquer (x1,y1),(x2,y2),
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)=(x2+x1,y2+y1)=(x2,y2)+(x1,y1)

Passo 4

(Associatividade da adição) Para quaisquer (xi,yi), i=1,2,3,
l((x1,y1)+(x2,y2)r)+(x3,y3) =(x1+x2,y1+y2)+(x3,y3) =(x1+x2+x3,y1+y2+y3)
e
(x1,y1)+l((x2,y2)+(x3,y3)r) =(x1,y1)+(x2+x3,y2+y3) =(x1+x2+x3,y1+y2+y3),
portanto são iguais.

Passo 5

(Existência do elemento neutro) O vetor (0,0) satisfaz, para todo (x,y),
(x,y)+(0,0)=(x+0,y+0)=(x,y)

Passo 6

(Existência de inverso aditivo) Para cada (x,y) tomamos (-x,-y), pois
(x,y)+(-x,-y)=(x-x,y-y)=(0,0)

Passo 7

(Fechamento da multiplicação escalar) Para ainR e (x,y)inR^2, temos a,xinR e a,yinR, logo
a,(x,y)=(a,x,a,y)inR^2

Passo 8

(Compatibilidade com produto no corpo) Para a,binR e (x,y)inR^2,
al(b,(x,y)r)=a,(b,x,b,y)=(a,b,x,;a,b,y) =(ab),(x,y)

Passo 9

(Identidade escalar) Para todo (x,y),
1,(x,y)=(1cdot x,1cdot y)=(x,y)

Passo 10

(Distributividade)
  1. Para ainR e (x1,y1),(x2,y2),
al((x1,y1)+(x2,y2)r)=a,(x1+x2,y1+y2)=(a,x1+a,x2,;a,y1+a,y2)
;=;(a,x1,a,y1)+(a,x2,a,y2)=a,(x1,y1)+a,(x2,y2)
  1. Para a,binR e (x,y),
(a+b),(x,y)=l((a+b)x,,(a+b)yr)=(a,x+b,x,;a,y+b,y)
;=;(a,x,a,y)+(b,x,b,y)=a,(x,y)+b,(x,y)

Resposta

Como todas as propriedades exigidas pela definição de espaço vetorial estão satisfeitas, concluímos que R^2 com as operações dadas é, de fato, um espaço vetorial sobre R.

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