Mostre que
é espaço vetorial sobre
, onde as operações de soma e produto por escalar são:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
com as operações
com as operações
é um espaço vetorial sobre o corpo
.
Para isso vamos verificar que (i) é um grupo abeliano e (ii) a multiplicação por escalar satisfaz os quatro axiomas restantes de espaço vetorial.
Para isso vamos verificar que (i)
Passo 2
Verificamos primeiro que
é um grupo abeliano:
-
Fechadura: se
e então e, são reais, logo . -
Comutatividade:
-
Associatividade: para
, -
Elemento neutro:
satisfaz -
Inverso aditivo: para
, o inverso é pois
Portanto
é grupo abeliano.
Passo 3
Agora verificamos os axiomas envolvendo escalares
e vetores
:
-
Fechadura sob escalar:
pertence a porque . -
Distributividade em relação à soma de vetores:
-
Distributividade em relação à soma de escalares:
-
Compatibilidade de produto de escalares:
-
Elemento unitário do corpo:
Isso exaure os axiomas de espaço vetorial.
Resposta
Todas as propriedades de grupo abeliano para a adição e todos os axiomas de multiplicação por escalar foram verificados. Portanto
é um espaço vetorial sobre
.