Mostre que C é espaço vetorial sobre R, onde as operações de soma e produto por escalar são:
(a+b i)+(c+d i) & =(a+c)+(b+d) i alpha(a+b i) & =(alpha a)+(alpha b) i

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
C = ,a + b,i mid a,binR
com as operações
(a + b,i) + (c + d,i) = (a+c) + (b+d),i, alpha,(a + b,i) = (alpha a) + (alpha b),i
é um espaço vetorial sobre o corpo R.
Para isso vamos verificar que (i) (C,+) é um grupo abeliano e (ii) a multiplicação por escalar satisfaz os quatro axiomas restantes de espaço vetorial.

Passo 2

Verificamos primeiro que (C,+) é um grupo abeliano:
  1. Fechadura: se z=a+bi e w=c+di então
    z+w = (a+c)+(b+d),i,
    e a+c, b+d são reais, logo z+winC.
  2. Comutatividade:
    z+w = (a+c)+(b+d),i = (c+a)+(d+b),i = w+z
  3. Associatividade: para u=e+fi,
    (z+w)+u = l((a+c)+(b+d),ir)+(e+f,i) = (a+c+e)+(b+d+f),i = z+(w+u)
  4. Elemento neutro: 0C = 0+0,i satisfaz
    z + 0C = (a+0)+(b+0),i = a+b,i = z
  5. Inverso aditivo: para z=a+bi, o inverso é
    -z = (-a)+(-b),i,
    pois
    z + (-z) = (a-a)+(b-b),i = 0+0,i = 0C
Portanto (C,+) é grupo abeliano.

Passo 3

Agora verificamos os axiomas envolvendo escalares alpha,betainR e vetores z,winC:
  1. Fechadura sob escalar:
    alpha,(a + b,i) = (alpha a)+(alpha b),i pertence a C porque alpha a,alpha binR.
  2. Distributividade em relação à soma de vetores:
    alpha,(z + w) = alphal((a+c)+(b+d),ir) = l(alpha(a+c)r)+l(alpha(b+d)r),i = (alpha a + alpha c) + (alpha b + alpha d),i = alpha z + alpha w
  3. Distributividade em relação à soma de escalares:
    (alpha + beta),z = l((alpha+beta)ar)+l((alpha+beta)br),i = (alpha a + beta a)+(alpha b + beta b),i = alpha z + beta z
  4. Compatibilidade de produto de escalares:
    (alphabeta),z = l((alphabeta)ar)+l((alphabeta)br),i = alphal(beta ar)+alphal(beta br),i = alphal(beta zr)
  5. Elemento unitário do corpo:
    1R,z = 1cdot a + 1cdot b,i = a+ b,i = z
Isso exaure os axiomas de espaço vetorial.

Resposta

Todas as propriedades de grupo abeliano para a adição e todos os axiomas de multiplicação por escalar foram verificados. Portanto C é um espaço vetorial sobre R.

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