Encontre o vértice, os zeros e o intercepto com o eixo
e use esses dados para fazer o esboço das parábolas a seguir. Além disso, indique os intervalos de crescimento e decrescimento e faça o estudo do sinal. Obs: Você pode precisar de mais alguns pontos, em alguns casos, para o esboço dos gráficos.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a função quadrática
e determinar seu vértice, as raízes (zeros), o intercepto em
, os intervalos de crescimento e decrescimento e o sinal de
. Para isso vamos usar:
– fatoração para encontrar zeros;
– fórmula do vértice e cálculo de
;
– derivada para monotonicidade;
– gráfico concavo para o estudo de sinal baseado nas raízes.
– fatoração para encontrar zeros;
– fórmula do vértice
– derivada
– gráfico concavo para o estudo de sinal baseado nas raízes.
Passo 2
Para achar os zeros resolvemos
fatando common factor:
logo as raízes são
Passo 3
O intercepto com o eixo
é
. Substituindo
em
:
Assim, o ponto de intercepto é
, que coincide com uma das raízes.
Passo 4
O vértice
vem de
e
Logo o vértice é
.
Passo 5
Para monotonicidade calculamos a derivada:
Sinal de
:
Passo 6
O coeficiente de
é
, portanto a parábola é côncava para baixo. Usando as raízes
e
, o sinal de
é
Passo 7
Para esboçar o gráfico, marcamos:
– vértice ;
– zeros e
;
– intercepto em ;
– alguns pontos adicionais, por exemplo e
, que confirmam a simetria.
Desenhamos uma parábola côncava para baixo com eixo de simetria , crescente até
e decrescente depois.
– vértice
– zeros
– intercepto em
– alguns pontos adicionais, por exemplo
Desenhamos uma parábola côncava para baixo com eixo de simetria
Resposta
Vértice:
Zeros: e
Intercepto em :
Crescente em , decrescente em
Sinal: em
,
em
,
em
Esboço: parábola côncava para baixo passando pelos pontos citados.
Zeros:
Intercepto em
Crescente em
Sinal:
Esboço: parábola côncava para baixo passando pelos pontos citados.