Encontre o vértice, os zeros e o intercepto com o eixo y e use esses dados para fazer o esboço das parábolas a seguir. Além disso, indique os intervalos de crescimento e decrescimento e faça o estudo do sinal. Obs: Você pode precisar de mais alguns pontos, em alguns casos, para o esboço dos gráficos.
f(x)=-2 x^{2}+8 x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função quadrática
f(x) = -2x^2 + 8x
e determinar seu vértice, as raízes (zeros), o intercepto em y, os intervalos de crescimento e decrescimento e o sinal de f(x). Para isso vamos usar:
– fatoração para encontrar zeros;
– fórmula do vértice x_v = -\tfrac{b}{2a} e cálculo de f(x_v);
– derivada f'(x) para monotonicidade;
– gráfico concavo para o estudo de sinal baseado nas raízes.

Passo 2

Para achar os zeros resolvemos
-2x^2 + 8x = 0
fatando common factor:
-2x(x - 4) = 0
logo as raízes são
x = 0,\quad x = 4.

Passo 3

O intercepto com o eixo y é f(0). Substituindo x=0 em f(x):
f(0) = -2\cdot0^2 + 8\cdot0 = 0.
Assim, o ponto de intercepto é (0,0), que coincide com uma das raízes.

Passo 4

O vértice (x_v,y_v) vem de
x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2\cdot(-2)} = 2,
e
y_v = f(2) = -2\cdot2^2 + 8\cdot2 = -8 + 16 = 8.
Logo o vértice é \bigl(2,8\bigr).

Passo 5

Para monotonicidade calculamos a derivada:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-2x^2 + 8x\bigr) = -4x + 8.
Sinal de f'(x):
-4x + 8 > 0 \iff x < 2\quad(\text{função crescente}),çã
-4x + 8 < 0 \iff x > 2\quad(\text{função decrescente}).çã

Passo 6

O coeficiente de x^2 é a=-2<0, portanto a parábola é côncava para baixo. Usando as raízes 0 e 4, o sinal de f(x) é
f(x)>0\quad\text{para }0<x<4,
f(x)=0\quad\text{em }x=0\text{ ou }x=4,
f(x)<0\quad\text{para }x<0\text{ ou }x>4.

Passo 7

Para esboçar o gráfico, marcamos:
– vértice (2,8);
– zeros (0,0) e (4,0);
– intercepto em (0,0);
– alguns pontos adicionais, por exemplo f(1)=6 e f(3)=6, que confirmam a simetria.
Desenhamos uma parábola côncava para baixo com eixo de simetria x=2, crescente até x=2 e decrescente depois.

Resposta

Vértice: \bigl(2,8\bigr)
Zeros: x=0 e x=4
Intercepto em y: (0,0)
Crescente em (-\infty,2), decrescente em (2,\infty)
Sinal: f(x)>0 em (0,4), f(x)=0 em x=0,4, f(x)<0 em (-\infty,0)\cup(4,\infty)
Esboço: parábola côncava para baixo passando pelos pontos citados.

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