Considere as seguintes funções: f(x)=3 x-8, g(x)=2 x^{2}-1 e h(x)=x^{3}.
(a) Classifique essas funções quanto a simetria (par, ímpar ou nem par, nem ímpar).
(b) Verifique se essas funções são injetoras.
(c) Encontre, caso existam, os zeros de cada uma dessas funções.
(d) Encontre a função inversa de f e h.
(e) Encontre f(g(x))
(f) Resolva a inequação f(x)>0.
(g) Faça o esboço do gráfico dessas funções e analise os intervalos de crescimento e decrescimento.

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=3x-8, g(x)=2x^{2}-1 e h(x)=x^{3}
e pede:
(a) classificar simetria (par, ímpar ou nem par nem ímpar),
(b) verificar injetividade,
(c) encontrar zeros,
(d) achar inversas de f e h,
(e) calcular f(g(x)),
(f) resolver a inequação f(x)>0,
(g) esboçar os gráficos e analisar crescimento/decrescimento.
Vamos usar definições de função par/ímpar, derivadas para monotonicidade, solução de equações e operação de compostos e inversas.

Passo 2

Para classificar a simetria, avalio f(-x), g(-x) e h(-x):
- f(-x)=3(-x)-8=-3x-8. Nem é igual a f(x)=3x-8 nem a -f(x)=8-3x. Logo, f é nem par nem ímpar.
- g(-x)=2(-x)^{2}-1=2x^{2}-1=g(x). Logo g é par.
- h(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-\,h(x). Logo h é ímpar.

Passo 3

Para verificar injetividade, uso a monotonicidade (derivadas):
- f'(x)=3>0 para todo x, então f é estritamente crescente e, portanto, injetora.
- g'(x)=4x muda de sinal em x=0, pois é negativa em x<0 e positiva em x>0; não é monotônica em \mathbb{R}, logo não é injetora.
- h'(x)=3x^{2}\ge0 em todo \mathbb{R} e só zera em um ponto isolado; de fato x_{1}<x_{2}\implies x_{1}^{3}<x_{2}^{3}, então h é estritamente crescente e injetora.

Passo 4

Para encontrar os zeros, resolvo cada equação f(x)=0, g(x)=0, h(x)=0:
- 3x-8=0\implies x=\tfrac{8}{3}.
- 2x^{2}-1=0\implies x^{2}=\tfrac12\implies x=\pm\tfrac{1}{\sqrt2}.
- x^{3}=0\implies x=0.

Passo 5

Para achar inversas de f e h, troco x por y e resolvo:
- y=3x-8\implies x=\tfrac{y+8}{3}. Trocando y\to x,
f^{-1}(x)=\frac{x+8}{3}.
- y=x^{3}\implies x=\sqrt[3]{y}. Trocando y\to x,
h^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}.

Passo 6

Para calcular o composto f(g(x)):
f\bigl(g(x)\bigr)=3\bigl(2x^{2}-1\bigr)-8=6x^{2}-3-8=6x^{2}-11.

Passo 7

Para resolver a inequação f(x)>0:
3x-8>0\implies x>\frac{8}{3}.

Passo 8

Esboço e monotonicidade:
- Gráfico de f: reta de coeficiente angular positivo que corta o eixo x em \tfrac{8}{3}. Cresce em todo \mathbb{R}.
- Gráfico de g: parábola voltada para cima, simétrica em x=0, vértice em (0,-1), zeros em \pm\tfrac{1}{\sqrt2}. Decresce em (-\infty,0] e cresce em [0,\infty).
- Gráfico de h: cúbica passando pela origem, ímpar, sem extremos locais, ponto de inflexão em 0. Cresce em todo \mathbb{R}.

Resposta

(a) f é nem par nem ímpar; g é par; h é ímpar.
(b) f e h são injetoras; g não é.
(c) Zeros: f\!:x=\tfrac{8}{3}; g\!:x=\pm\tfrac{1}{\sqrt2}; h\!:x=0.
(d) f^{-1}(x)=\tfrac{x+8}{3}, \;h^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}.
(e) f(g(x))=6x^{2}-11.
(f) f(x)>0 para x>\tfrac{8}{3}.
(g) f cresce em \mathbb{R}; g decresce em (-\infty,0] e cresce em [0,\infty); h cresce em \mathbb{R}.

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