Considere as seguintes funções:
e
.
(a) Classifique essas funções quanto a simetria (par, ímpar ou nem par, nem ímpar).
(b) Verifique se essas funções são injetoras.
(c) Encontre, caso existam, os zeros de cada uma dessas funções.
(d) Encontre a função inversa de
e
.
(e) Encontre
(f) Resolva a inequação
.
(g) Faça o esboço do gráfico dessas funções e analise os intervalos de crescimento e decrescimento.
(a) Classifique essas funções quanto a simetria (par, ímpar ou nem par, nem ímpar).
(b) Verifique se essas funções são injetoras.
(c) Encontre, caso existam, os zeros de cada uma dessas funções.
(d) Encontre a função inversa de
(e) Encontre
(f) Resolva a inequação
(g) Faça o esboço do gráfico dessas funções e analise os intervalos de crescimento e decrescimento.
Passo 1
O enunciado dá as funções
,
e
e pede:
(a) classificar simetria (par, ímpar ou nem par nem ímpar),
(b) verificar injetividade,
(c) encontrar zeros,
(d) achar inversas de e
,
(e) calcular ,
(f) resolver a inequação ,
(g) esboçar os gráficos e analisar crescimento/decrescimento.
Vamos usar definições de função par/ímpar, derivadas para monotonicidade, solução de equações e operação de compostos e inversas.
e pede:
(a) classificar simetria (par, ímpar ou nem par nem ímpar),
(b) verificar injetividade,
(c) encontrar zeros,
(d) achar inversas de
(e) calcular
(f) resolver a inequação
(g) esboçar os gráficos e analisar crescimento/decrescimento.
Vamos usar definições de função par/ímpar, derivadas para monotonicidade, solução de equações e operação de compostos e inversas.
Passo 2
Para classificar a simetria, avalio
,
e
:
- . Nem é igual a
nem a
. Logo,
é nem par nem ímpar.
- . Logo
é par.
- . Logo
é ímpar.
-
-
-
Passo 3
Para verificar injetividade, uso a monotonicidade (derivadas):
- para todo
, então
é estritamente crescente e, portanto, injetora.
- muda de sinal em
, pois é negativa em
e positiva em
; não é monotônica em
, logo não é injetora.
- em todo
e só zera em um ponto isolado; de fato
, então
é estritamente crescente e injetora.
-
-
-
Passo 4
Para encontrar os zeros, resolvo cada equação
,
,
:
-
-
-
-
-
-
Passo 5
Para achar inversas de
e
, troco
por
e resolvo:
- . Trocando
,
-
-
. Trocando
,
Passo 6
Para calcular o composto
:
Passo 7
Para resolver a inequação
:
Passo 8
Esboço e monotonicidade:
- Gráfico de : reta de coeficiente angular positivo que corta o eixo
em
. Cresce em todo
.
- Gráfico de : parábola voltada para cima, simétrica em
, vértice em
, zeros em
. Decresce em
e cresce em
.
- Gráfico de : cúbica passando pela origem, ímpar, sem extremos locais, ponto de inflexão em
. Cresce em todo
.
- Gráfico de
- Gráfico de
- Gráfico de
Resposta
(a)
é nem par nem ímpar;
é par;
é ímpar.
(b) e
são injetoras;
não é.
(c) Zeros: ;
;
.
(d) ,
(e)
(f) para
(g) cresce em
;
decresce em
e cresce em
;
cresce em
.
(b)
(c) Zeros:
(d)
(e)
(f)
(g)