Considere lambda o último dígito do seu R A. Por exemplo, se R A=123456789, então lambda=9.
ESCOLHA UM ITEM DE ACORDO COM O SEU lambda: SE FOR PAR, ESCOLHA ENTRE A) E C). SE FOR Ímpar, ENTRE B) E D)
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da curva y=ln (x) em torno do eixo y, entre x=0, y=0 e y=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela curva y = ln(x), pelas retas y = 0, y = 1 e pelo eixo y, em torno do próprio eixo y. O conteúdo aqui é o método dos discos (seções transversais perpendiculares ao eixo de revolução), e vamos precisar expressar x em função de y.

Passo 2

Da equação y = ln(x) podemos isolar x como x = e^y. Isso nos diz que, para cada y em [0,1], o raio do disco gerado pela rotação é R(y) = e^y.

Passo 3

Pelo método dos discos, a área da seção transversal a uma altura y é A(y) = π [R(y)]^2. Logo,
A(y) = pi l(e^yr)^2 = pi e^2y

Passo 4

O volume é obtido integrando A(y) de y = 0 até y = 1:
V = integral0^1 A(y),dy = pi integral0^1 e^2y,dy

Passo 5

Agora calculamos o integral:
integral0^1 e^2y,dy = 12e^2y |0^1 = 12(e^2 - 1)

Passo 6

Portanto,
V = pi cdot 12(e^2 - 1) = pi2(e^2 - 1)

Resposta

V = pi2(e^2 - 1).

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