Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte distribuição de probabilidades:
\mathrm{P}(\mathrm{X}=\mathrm{x})=\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{x}}, \quad \text { para } \mathrm{X}=\{1,3,5,7\}
a) Determine o valor de K ;
b) \quad \mathrm{P}(\mathrm{X}<5).

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória discreta X que toma valores em \{1,3,5,7\} com função de massa de probabilidade
\mathrm{P}(X=x)=\frac{K}{x}.
Precisamos (a) determinar K usando a condição de normalização \sum_x \mathrm{P}(X=x)=1 e (b) calcular \mathrm{P}(X<5).

Passo 2

Para achar K, impomos
\sum_{x\in\{1,3,5,7\}}\mathrm{P}(X=x) =\sum_{x\in\{1,3,5,7\}}\frac{K}{x} =1.
Isso dá
K\sum_{x\in\{1,3,5,7\}}\frac{1}{x}=1.

Passo 3

Calculando a soma dos recíprocos:
\sum_{x\in\{1,3,5,7\}}\frac{1}{x} =1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7} =\frac{105+35+21+15}{105} =\frac{176}{105}.
Logo
K\cdot\frac{176}{105}=1 \quad\Longrightarrow\quad K=\frac{105}{176}.

Passo 4

Para \mathrm{P}(X<5) somamos as probabilidades em x=1 e x=3:
\mathrm{P}(X<5) =\mathrm{P}(X=1)+\mathrm{P}(X=3) =\frac{K}{1}+\frac{K}{3} =K\Bigl(1+\frac{1}{3}\Bigr) =K\cdot\frac{4}{3}.
Substituindo K=\frac{105}{176} temos
\mathrm{P}(X<5) =\frac{105}{176}\cdot\frac{4}{3} =\frac{420}{528} =\frac{35}{44}.

Resposta

(a) K=\tfrac{105}{176}.
(b) \mathrm{P}(X<5)=\tfrac{35}{44}.

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