Considere uma moeda viciada onde a probabilidade de ocorrência da face cara é quatro vezes a probabilidade de ocorrência da face coroa. Essa moeda é jogada três vezes. Seja X o número de caras que aparece. Estabeleça a distribuição de probabilidades de X e também a função de distribuição acumulada.

Passo 1

O enunciado nos dá uma moeda viciada com probabilidade de cara quatro vezes maior que a de coroa e diz que a moeda é lançada três vezes. Definimos a variável aleatória X como o número de caras obtidas em três lançamentos. Vamos usar a distribuição binomial para obter (a) a função massa de probabilidade de X e (b) a função de distribuição acumulada.

Passo 2

Chamando \,p=P(\text{cara}) e \,q=P(\text{coroa}), temos
p = 4\,q \quad\text{e}\quad p + q = 1.
Da segunda equação q=1-p, então p=4(1-p) leva a 5p=4 e
p = \frac{4}{5}, \quad q = \frac{1}{5}.

Passo 3

Como são três lançamentos independentes, X\sim\mathrm{Binomial}(n=3,p=4/5). Logo,
P(X=k) = \binom{3}{k}\,\Bigl(\frac{4}{5}\Bigr)^{k}\,\Bigl(\frac{1}{5}\Bigr)^{3-k}, \quad k=0,1,2,3.
Calculando cada termo:
P(X=0)=\binom{3}{0}\Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)^0\Bigl(\tfrac{1}{5}\Bigr)^3=\frac{1}{125},
P(X=1)=\binom{3}{1}\Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)^1\Bigl(\tfrac{1}{5}\Bigr)^2 =3\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{25}=\frac{12}{125},
P(X=2)=\binom{3}{2}\Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)^2\Bigl(\tfrac{1}{5}\Bigr)^1 =3\cdot\frac{16}{25}\cdot\frac{1}{5}=\frac{48}{125},
P(X=3)=\binom{3}{3}\Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)^3\Bigl(\tfrac{1}{5}\Bigr)^0 =\frac{64}{125}.

Passo 4

A função de distribuição acumulada é
F(x)=P(X\le x).
Em cada intervalo inteiro de x, somamos:
\begin{cases} F(x)=0, & x<0,\\[6pt] F(x)=P(X=0)=\tfrac{1}{125}, & 0\le x<1,\\[6pt] F(x)=P(X\le1)=\tfrac{1}{125}+\tfrac{12}{125}=\tfrac{13}{125}, & 1\le x<2,\\[6pt] F(x)=P(X\le2)=\tfrac{13}{125}+\tfrac{48}{125}=\tfrac{61}{125}, & 2\le x<3,\\[6pt] F(x)=1, & x\ge3. \end{cases}]

Resposta

P(X =0) = \tfrac{1}{125}
P(X =1) = \tfrac{12}{125}
P(X =2) = \tfrac{48}{125}
P(X =3) = \tfrac{64}{125}
F(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\ \tfrac{1}{125}, & 0\le x<1,\\\ \tfrac{13}{125}, & 1\le x<2,\\\ \tfrac{61}{125}, & 2\le x<3,\\\\ 1, & x\ge3. \end{cases}

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