Considere a variável aleatória T cuja distribuição de probabilidade é dada por
Valores de T 2 3 4 5 6 7
Probabilidades 1 / 10 1 / 10 4 / 10 2 / 10 1 / 10 1 / 10
A esperança e a variância de T.

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de probabilidade discreta da variável aleatória T com os possíveis valores e respectivas probabilidades:
\begin{array}{c|cccccc} \text{Valores de }T & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\ \hline \text{Probabilidades} & \tfrac{1}{10} & \tfrac{1}{10} & \tfrac{4}{10} & \tfrac{2}{10} & \tfrac{1}{10} & \tfrac{1}{10} \end{array}
O que o exercício pede: calcular a esperança (ou valor esperado) de T e a variância de T.

Passo 2

Vou explicar o que é esperança (valor esperado) e a fórmula que vamos usar. A esperança de uma variável aleatória discreta T é a média ponderada dos seus valores, onde os pesos são as probabilidades. A fórmula é
E[T]=\sum_{i} t_i\,p_i,
onde t_i são os valores possíveis de T e p_i são as probabilidades associadas. Aqui cada termo t_i p_i é a contribuição daquele valor para a média.

Passo 3

Agora calculamos E[T] aplicando a fórmula com os pares dados (t_i,p_i). Vou calcular cada produto t_i p_i e somar:
\begin{aligned} 2\cdot\tfrac{1}{10} &= \tfrac{2}{10}=0,2,\\\\ 3\cdot\tfrac{1}{10} &= \tfrac{3}{10}=0,3,\\\\ 4\cdot\tfrac{4}{10} &= \tfrac{16}{10}=1,6,\\\\ 5\cdot\tfrac{2}{10} &= \tfrac{10}{10}=1,0,\\\\ 6\cdot\tfrac{1}{10} &= \tfrac{6}{10}=0,6,\\\\ 7\cdot\tfrac{1}{10} &= \tfrac{7}{10}=0,7. \end{aligned}
Somando todas as contribuições:
E[T]=0,2+0,3+1,6+1,0+0,6+0,7=4,4.
Uma forma fracionária: E[T]=\tfrac{22}{5}.

Passo 4

Agora a variância. A variância mede a dispersão em torno da média e é definida por
\operatorname{Var}(T)=E\big[(T-E[T])^2\big].
Uma fórmula algébrica muito prática é
\operatorname{Var}(T)=E[T^2]-\big(E[T]\big)^2,
ou seja, primeiro calculamos E[T^2] (a esperança dos quadrados) e subtraímos o quadrado de E[T].

Passo 5

Vou calcular E[T^2] usando os mesmos valores e probabilidades. Para cada t_i calcule t_i^2 p_i:
\begin{aligned} 2^2\cdot\tfrac{1}{10} &= 4\cdot\tfrac{1}{10}=\tfrac{4}{10}=0,4,\\\\ 3^2\cdot\tfrac{1}{10} &= 9\cdot\tfrac{1}{10}=\tfrac{9}{10}=0,9,\\\\ 4^2\cdot\tfrac{4}{10} &= 16\cdot\tfrac{4}{10}=\tfrac{64}{10}=6,4,\\\\ 5^2\cdot\tfrac{2}{10} &= 25\cdot\tfrac{2}{10}=\tfrac{50}{10}=5,0,\\\\ 6^2\cdot\tfrac{1}{10} &= 36\cdot\tfrac{1}{10}=\tfrac{36}{10}=3,6,\\\\ 7^2\cdot\tfrac{1}{10} &= 49\cdot\tfrac{1}{10}=\tfrac{49}{10}=4,9. \end{aligned}
Somando:
E[T^2]=0,4+0,9+6,4+5,0+3,6+4,9=21,2.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da variância:
\operatorname{Var}(T)=E[T^2]-\big(E[T]\big)^2.
Substituindo os valores que já achamos ( E[T^2]=21,2 e E[T]=4,4):
\operatorname{Var}(T)=21,2-(4,4)^2.
Calcule o quadrado:
(4,4)^2=19,36.
Portanto
\operatorname{Var}(T)=21,2-19,36=1,84.
Em fração, \operatorname{Var}(T)=\tfrac{46}{25}.

Resposta

\displaystyle E[T]=4,4=\tfrac{22}{5}
\displaystyle \operatorname{Var}(T)=1,84=\tfrac{46}{25}

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