Considere a variável aleatória
cuja distribuição de probabilidade é dada por
Valores de T
2
3
4
5
6
7
Probabilidades
A esperança e a variância de
.
| Valores de T | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| Probabilidades |
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Passo 1
O enunciado dá a distribuição de probabilidade discreta da variável aleatória
com os possíveis valores e respectivas probabilidades:
O que o exercício pede: calcular a esperança (ou valor esperado) de
e a variância de
.
Passo 2
Vou explicar o que é esperança (valor esperado) e a fórmula que vamos usar. A esperança de uma variável aleatória discreta
é a média ponderada dos seus valores, onde os pesos são as probabilidades. A fórmula é
onde
são os valores possíveis de
e
são as probabilidades associadas. Aqui cada termo
é a contribuição daquele valor para a média.
Passo 3
Agora calculamos
aplicando a fórmula com os pares dados
. Vou calcular cada produto
e somar:
Somando todas as contribuições:
Uma forma fracionária:
.
Passo 4
Agora a variância. A variância mede a dispersão em torno da média e é definida por
Uma fórmula algébrica muito prática é
ou seja, primeiro calculamos
(a esperança dos quadrados) e subtraímos o quadrado de
.
Passo 5
Vou calcular
usando os mesmos valores e probabilidades. Para cada
calcule
:
Somando:
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula da variância:
Substituindo os valores que já achamos (
e
):
Calcule o quadrado:
Portanto
Em fração,
.