Seja X uma variável aleatória discreta com função de probabilidade dada por P(X=x)=c 2^{-x}, para x=0,1,2, \ldots. Lembrando-se das propriedades de uma função de probabilidade,
a) Calcule o valor da constante c.
b) Determine P(X \leq 2), P(X>5) e P(X ser Impar ).
c) Determine a esperança e a variância de X.

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória discreta X com função de probabilidade
P(X=x)=c\,2^{-x},\qquad x=0,1,2,\ldots
e pede:
a) o valor da constante c;
b) os valores de P(X\le 2), P(X>5) e P(X\\ \text{ser ímpar})í;
c) a esperança E[X] e a variância \operatorname{Var}(X).
Informações relevantes dadas:
  • A forma da função de probabilidade para todos os x não-negativos inteiros: P(X=x)=c\,2^{-x}.
  • Deve valer a propriedade básica de qualquer função de probabilidade: as probabilidades somam 1, isto é \sum_{x=0}^{\infty} P(X=x)=1.

Passo 2

Encontrar c usando que as probabilidades somam 1.
Usamos a soma da série geométrica. Para |r|<1 vale
\sum_{x=0}^{\infty} r^{x}=\frac{1}{1-r}.
Aplicando com r=\tfrac{1}{2} obtemos
\sum_{x=0}^{\infty} 2^{-x}=\frac{1}{1-\tfrac{1}{2}}=2.
Como P(X=x)=c\,2^{-x}, temos
\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x)=c\sum_{x=0}^{\infty}2^{-x}=c\cdot 2.
Igualando a 1 (propriedade de função de probabilidade),
c\cdot 2=1 \quad\Rightarrow\quad c=\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Calcular P(X\le 2).
Pela definição,
P(X\le 2)=\sum_{x=0}^{2} P(X=x)=\sum_{x=0}^{2} c\,2^{-x}.
Substituindo c=\tfrac{1}{2},
P(X\le 2)=\tfrac{1}{2}\bigl(2^{0}+2^{-1}+2^{-2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\bigl(1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}\bigr)=\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{7}{4}=\tfrac{7}{8}.

Passo 4

Calcular P(X>5).
Usamos P(X>5)=1-P(X\le 5). Primeiro calculamos P(X\le 5):
P(X\le 5)=\sum_{x=0}^{5} c\,2^{-x}=c\sum_{x=0}^{5}2^{-x}.
A soma finita da geométrica é
\sum_{x=0}^{5}2^{-x}=\frac{1-(1/2)^{6}}{1-1/2}=2\bigl(1-(1/2)^{6}\bigr)=2\bigl(1-\tfrac{1}{64}\bigr)=2\cdot \tfrac{63}{64}=\tfrac{63}{32}.
Multiplicando por c=\tfrac{1}{2},
P(X\le 5)=\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{63}{32}=\tfrac{63}{64}.
Portanto
P(X>5)=1-\tfrac{63}{64}=\tfrac{1}{64}.
(Observação alternativa: soma da cauda a partir de x=6 c\cdot 2^{-6}\cdot\frac{1}{1-1/2}=c\cdot 2^{-5}=(1/2)\cdot\frac{1}{32}=\tfrac{1}{64}, mesma resposta.)

Passo 5

Calcular P(X\\ \text{ser ímpar})í.
Probabilidade de X assumir valores ímpares é a soma sobre x=1,3,5,\ldots. Faça a substituição x=2k+1 com k=0,1,2,\ldots:
P(\text{ímpar})=\sum_{k=0}^{\infty} P(X=2k+1)=\sum_{k=0}^{\infty} c\,2^{-(2k+1)}=c\sum_{k=0}^{\infty}2^{-1}\bigl(2^{-2}\bigr)^{k}.í
Isto é
P(\text{ímpar})=c\cdot\tfrac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)^{k}.í
Usando a soma geométrica \sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=\tfrac{1}{1-r} com r=\tfrac{1}{4},
\sum_{k=0}^{\infty}\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)^{k}=\frac{1}{1-\tfrac{1}{4}}=\frac{4}{3}.
Logo
P(\text{ímpar})=c\cdot\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{4}{3}=c\cdot \tfrac{2}{3}.í
Substituindo c=\tfrac{1}{2},
P(\text{ímpar})=\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}.í

Passo 6

Calcular a esperança E[X].
Definição de esperança para variável discreta:
E[X]=\sum_{x=0}^{\infty} x\,P(X=x)=\sum_{x=0}^{\infty} x\,c\,2^{-x}=c\sum_{x=0}^{\infty} x\,2^{-x}.
Para calcular \sum_{x=0}^{\infty} x r^{x} usamos uma técnica com derivada da série geométrica. Seja
S(r)=\sum_{x=0}^{\infty} r^{x}=\frac{1}{1-r},\qquad |r|<1.
Diferenciando em relação a r,
S'(r)=\sum_{x=0}^{\infty} x\,r^{x-1}=\frac{1}{(1-r)^{2}}.
Multiplicando por r obtemos a soma que precisamos:
\sum_{x=0}^{\infty} x\,r^{x}=\frac{r}{(1-r)^{2}}.
Aplicando com r=\tfrac{1}{2},
\sum_{x=0}^{\infty} x\,2^{-x}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\bigl(1-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{4}}=2.
Portanto
E[X]=c\cdot 2=\tfrac{1}{2}\cdot 2=1.

Passo 7

Calcular a variância \operatorname{Var}(X).
Definição:
\operatorname{Var}(X)=E[X^{2}]-(E[X])^{2}.
Já temos E[X]=1. Calculamos E[X^{2}]=\sum_{x=0}^{\infty} x^{2}P(X=x)=c\sum_{x=0}^{\infty} x^{2}2^{-x}.
Para \sum x^{2}r^{x} usamos derivadas também. Já sabemos
\sum_{x=0}^{\infty} x\,r^{x}=\frac{r}{(1-r)^{2}}.
Diferenciando ambos os lados em relação a r,
\sum_{x=0}^{\infty} x^{2} r^{x-1}=\frac{d}{dr}\left(\frac{r}{(1-r)^{2}}\right).
Calculando a derivada do lado direito:
\frac{d}{dr}\left(\frac{r}{(1-r)^{2}}\right)=\frac{(1-r)^{2}+2r(1-r)}{(1-r)^{4}}=\frac{1+r}{(1-r)^{3}}.
Multiplicando por r obtemos
\sum_{x=0}^{\infty} x^{2} r^{x}=\frac{r(1+r)}{(1-r)^{3}}.
Tomando r=\tfrac{1}{2},
\sum_{x=0}^{\infty} x^{2}2^{-x}=\frac{\tfrac{1}{2}\bigl(1+\tfrac{1}{2}\bigr)}{\bigl(1-\tfrac{1}{2}\bigr)^{3}}=\frac{\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{3}{2}}{\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{3}}=\frac{\tfrac{3}{4}}{\tfrac{1}{8}}=6.
Então
E[X^{2}]=c\cdot 6=\tfrac{1}{2}\cdot 6=3.
Por fim,
\operatorname{Var}(X)=E[X^{2}]-(E[X])^{2}=3-1^{2}=2.

Resposta

a) c=\tfrac{1}{2}
b) P(X\le 2)=\tfrac{7}{8}
P(X>5)=\tfrac{1}{64}
P(X\\ \text{ser ímpar})=\tfrac{1}{3}í
c) E[X]=1
\operatorname{Var}(X)=2

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