Seja
uma variável aleatória discreta com função de probabilidade dada por
, para
. Lembrando-se das propriedades de uma função de probabilidade,
a) Calcule o valor da constante
.
b) Determine
e
ser Impar
.
c) Determine a esperança e a variância de
.
a) Calcule o valor da constante
b) Determine
c) Determine a esperança e a variância de
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória discreta
com função de probabilidade
e pede:
a) o valor da constante ;
b) os valores de ,
e
;
c) a esperança e a variância
.
a) o valor da constante
b) os valores de
c) a esperança
Informações relevantes dadas:
- A forma da função de probabilidade para todos os
não-negativos inteiros: . - Deve valer a propriedade básica de qualquer função de probabilidade: as probabilidades somam
, isto é .
Passo 2
Encontrar
usando que as probabilidades somam
.
Usamos a soma da série geométrica. Para
vale
Aplicando com
obtemos
Como
, temos
Igualando a
(propriedade de função de probabilidade),
Passo 3
Calcular
.
Pela definição,
Substituindo
,
Passo 4
Calcular
.
Usamos
. Primeiro calculamos
:
A soma finita da geométrica é
Multiplicando por
,
Portanto
(Observação alternativa: soma da cauda a partir de
dá
, mesma resposta.)
Passo 5
Calcular
.
Probabilidade de
assumir valores ímpares é a soma sobre
. Faça a substituição
com
:
Isto é
Usando a soma geométrica
com
,
Logo
Substituindo
,
Passo 6
Calcular a esperança
.
Definição de esperança para variável discreta:
Para calcular
usamos uma técnica com derivada da série geométrica. Seja
Diferenciando em relação a
,
Multiplicando por
obtemos a soma que precisamos:
Aplicando com
,
Portanto
Passo 7
Calcular a variância
.
Definição:
Já temos
. Calculamos
.
Para
usamos derivadas também. Já sabemos
Diferenciando ambos os lados em relação a
,
Calculando a derivada do lado direito:
Multiplicando por
obtemos
Tomando
,
Então
Por fim,
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)