Considere o lançamento de duas moedas idênticas, mas desequilibradas. Para cada moeda, a probabilidade de ocorrer cara é 45 % maior do que a probabilidade de obter coroa. Qual é a probabilidade de obter 2 caras dado que se obteve pelo menos 1 cara?
(a) 0.500
(b) 0.420
© 0.216
(d) 0.592
(e) 0.333

Passo 1

Beleza, então vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas moedas iguais, mas que não são justas. A probabilidade de dar cara em qualquer uma delas é 45% maior do que a de dar coroa. A pergunta é: qual a probabilidade de obtermos 2 caras, sabendo que pelo menos uma das moedas deu cara? Vamos usar conceitos de probabilidade condicional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as probabilidades das moedas. Vamos chamar a probabilidade de sair coroa de $ P(Coroa) = x $. A questão diz que a probabilidade de sair cara é 45% maior que a de coroa, ou seja, $ P(Cara) = x + 0{,}45x = 1{,}45x $.

Passo 3

Sabemos que, para qualquer moeda, a soma das probabilidades de todos os possíveis resultados é 1. Assim:
P(Cara) + P(Coroa) = 1
Substituindo $ P(Cara) $ por $ 1{,}45x $:
P(Cara)
Resolvendo para $ x $:
1,45x
Então, $ P(Coroa) \approx 0{,}408 $ e $ P(Cara) = 1{,}45 \times 0{,}408 \approx 0{,}592 $.

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de obter 2 caras ($ P(2 Caras) $). Como as moedas são independentes, multiplicamos as probabilidades de cada uma dar cara:
P(2 Caras)

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar a probabilidade de obter pelo menos 1 cara ($ P(Pelo Menos 1 Cara) $). É mais fácil calcular o complementar dessa probabilidade, que é a de não obter nenhuma cara, ou seja, obter 2 coroas:
P(Pelo Menos 1 Cara)
Então:
P(Nenhuma Cara) = P(Coroa) times P(Coroa) = 0,408 times 0,408 = 0,166

Passo 6

Agora, usamos a fórmula da probabilidade condicional, que é:
P(A|B) = P(A cap B)P(B)
No nosso caso, queremos $ P(2 Caras | Pelo Menos 1 Cara) $:
P(2 Caras | Pelo Menos 1 Cara)

Resposta

A probabilidade de obter 2 caras, dado que se obteve pelo menos 1 cara, é 0.420.

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