Suponha que a altura, em centimetros, de uma pessoa selecionada ao acaso de uma população distribui-se Normalmente. Visto que P(X <= 154)=0.5 e P(X <= 148)=0.27, qual é a probabilidade de uma pessoa ao acaso ter altura superior a 165 cm ?
(a) 0.1539
(b) 0.1112
© 0.0418
(d) 0.1314
(e) 0.4562

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a altura de pessoas que segue uma distribuição Normal. A gente sabe que P(X <= 154)=0.5 e P(X <= 148)=0.27. Precisamos descobrir a probabilidade de uma pessoa ter mais de 165 cm de altura. Para isso, vamos usar conceitos de estatística sobre a distribuição Normal e como calcular probabilidades usando a tabela Z.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a média da distribuição. Sabemos que P(X <= 154)=0.5, o que significa que 154 cm é o ponto central da distribuição Normal. Portanto, a média ( mu) é 154 cm.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o desvio padrão ( sigma) da distribuição. Para isso, usamos o segundo dado: P(X <= 148)=0.27. Isso significa que 148 cm está a um certo número de desvios padrão abaixo da média.

Passo 4

Vamos transformar 148 cm em um valor Z usando a fórmula:
Z = X - musigma
Aqui, X = 148, mu = 154, e queremos encontrar Z correspondente a P(Z <= z) = 0.27.
Consultando a tabela Z, vemos que Z approx -0.61 para P(Z <= z) = 0.27. Então:
-0.61 = 148 - 154sigma

Passo 5

Resolvendo para sigma:
-0.61 = -6sigma Rightarrow sigma = 60.61 approx 9.84 cm

Passo 6

Agora que temos a média e o desvio padrão, vamos calcular a probabilidade de uma pessoa ter mais de 165 cm. Primeiro, encontramos o valor Z para 165 cm:
Z = 165 - 1549.84 approx 119.84 approx 1.117

Passo 7

Consultando a tabela Z novamente, encontramos P(Z <= 1.117) approx 0.8665. Então, a probabilidade de ter mais de 165 cm é:
P(X > 165) = 1 - P(Z <= 1.117) approx 1 - 0.8665 = 0.1335

Resposta

A probabilidade de uma pessoa ao acaso ter altura superior a 165 cm é aproximadamente 0.1314.

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