Considere o lançamento de três moedas e denote por K a ocorrência de cara e por C a ocorrência de coroa. Se ocorre o evento C C C, dizemos que temos uma sequência, ao passo que se ocorre o evento C K C temos três sequências. Defina a v.a. X= “número de caras obtidas” e Y= “número de sequências obtidas”.
a) Obtenha as distribuições de X e Y.
b) Calcule a esperança e variância de X e Y.
R. E(X)=\frac{3}{2}, \quad \operatorname{Var}(X)=\frac{3}{4}, \boldsymbol{E}(\boldsymbol{Y})=2, \boldsymbol{V a r}(\boldsymbol{Y})=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}

Passo 1

O enunciado pede a distribuição e os momentos de duas variáveis aleatórias em três lançamentos de moeda:
X= número de caras ( K), que é um caso de distribuição binomial com n=3 e p=1/2.
Y= número de sequências (runs) de resultados idênticos em três lançamentos.

Passo 2

Distribuição de X. Como cada lançamento é Bernoulli( 1/2), temos
P(X=k)=\binom{3}{k}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^k\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{3-k} =\frac{\binom{3}{k}}{8},
para k=0,1,2,3.

Passo 3

Distribuição de Y. Enumeramos os 8 resultados e contamos o número de runs:
Y=1 quando todos iguais: CCC ou KKK. Há 2 casos, logo
P(Y=1)=\frac{2}{8}=\frac14.
Y=2 quando ocorre exatamente uma mudança de cara para coroa (ou vice-versa). São 4 casos:
CCK,\\ CKK,\\ KCC,\\ KKC,
logo
P(Y=2)=\frac{4}{8}=\frac12.
Y=3 quando alterna em cada lançamento, ou seja CKC ou KCK. Há 2 casos, logo
P(Y=3)=\frac{2}{8}=\frac14.

Passo 4

Esperança e variância de X. Para X\sim\mathrm{Binomial}(3,\tfrac12) vale
E(X)=3\cdot\tfrac12=\tfrac32, \quad \operatorname{Var}(X)=3\cdot\tfrac12\cdot\Bigl(1-\tfrac12\Bigr)=\tfrac34.

Passo 5

Esperança e variância de Y. Usando a distribuição de Y:
E(Y)=1\cdot\tfrac14+2\cdot\tfrac12+3\cdot\tfrac14 =2,
E(Y^2)=1^2\cdot\tfrac14+2^2\cdot\tfrac12+3^2\cdot\tfrac14 =\tfrac14+2+ \tfrac{9}{4}=4{,}5,
\operatorname{Var}(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2 =4{,}5-2^2=\tfrac12.

Resposta

a) Distribuições
P(X=k)=\frac{\binom{3}{k}}{8},\quad k=0,1,2,3;
P(Y=1)=\tfrac14,\quad P(Y=2)=\tfrac12,\quad P(Y=3)=\tfrac14.
b)
E(X)=\tfrac32,\quad \operatorname{Var}(X)=\tfrac34, \quad E(Y)=2,\quad \operatorname{Var}(Y)=\tfrac12.

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