Considere o lançamento de três moedas e denote por
a ocorrência de cara e por
a ocorrência de coroa. Se ocorre o evento
, dizemos que temos uma sequência, ao passo que se ocorre o evento
temos três sequências. Defina a v.a.
“número de caras obtidas” e
“número de sequências obtidas”.
a) Obtenha as distribuições de
e
.
b) Calcule a esperança e variância de
e
.
R.
,
a) Obtenha as distribuições de
b) Calcule a esperança e variância de
R.
Passo 1
O enunciado pede a distribuição e os momentos de duas variáveis aleatórias em três lançamentos de moeda:
– número de caras (
), que é um caso de distribuição binomial com
e
.
– número de sequências (runs) de resultados idênticos em três lançamentos.
–
–
Passo 2
Distribuição de
. Como cada lançamento é Bernoulli(
), temos
para
.
Passo 3
Distribuição de
. Enumeramos os 8 resultados e contamos o número de runs:
– quando todos iguais:
ou
. Há 2 casos, logo
–
–
quando ocorre exatamente uma mudança de cara para coroa (ou vice-versa). São 4 casos:
logo
–
quando alterna em cada lançamento, ou seja
ou
. Há 2 casos, logo
Passo 4
Esperança e variância de
. Para
vale
Passo 5
Esperança e variância de
. Usando a distribuição de
:
Resposta
a) Distribuições
b)