Numa urna há 7 bolas brancas e 4 bolas verdes. Cinco bolas são extraídas dessa urna com reposição. Defina a v.a. X= número de bolas verdes.
a) Quais são os possíveis valores de X ?
b) Encontre a fdp de X.

Passo 1

O enunciado descreve extração com reposição de cinco bolas de uma urna que contém sete brancas e quatro verdes. Definimos a variável aleatória X como o número de bolas verdes obtidas nessas cinco extrações. O conteúdo aqui é a distribuição binomial, pois temos n=5 ensaios independentes, cada um com probabilidade p de sucesso (tirar bola verde).

Passo 2

Em cada ensaio contamos de zero até todos os acertos possíveis. Como fazemos cinco extrações, os valores que X pode assumir são
\{0,1,2,3,4,5\}.

Passo 3

A probabilidade de sucesso em cada extração (tirar uma bola verde) é a razão do número de verdes pelo total de bolas, ou seja,
p = \frac{4}{7+4} = \frac{4}{11},
e a probabilidade de fracasso (bola branca) é
1 - p = \frac{7}{11}.

Passo 4

Pelo modelo binomial, a função de probabilidade de X é dada por
P(X = k) = \binom{5}{k}\,p^{\,k}\,(1-p)^{\,5-k} = \binom{5}{k}\Bigl(\frac{4}{11}\Bigr)^{k}\Bigl(\frac{7}{11}\Bigr)^{5-k},
para cada k\in\{0,1,2,3,4,5\}.

Resposta

(a) Os possíveis valores de X são
0,1,2,3,4,5.
(b) A fdp de X é
P(X = k) = \binom{5}{k}\Bigl(\frac{4}{11}\Bigr)^{k}\Bigl(\frac{7}{11}\Bigr)^{5-k}, \quad k=0,1,2,3,4,5.

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