Um empresário pretende estabelecer uma firma para montagem de um componente mecânico. Cada peça é composta de duas partes, A e B, cada uma com uma chance específica de ser defeituosa. Só é possível verificar a qualidade das peças depois que elas são montadas. Se ambas são defeituosas, com probabilidade 10%, a peça é descartada e dá um prejuízo de $5. Se somente a peça B é defeituosa com probabilidade 15 \%, ainda é possível reparar a peça e obter um lucro de \5 . De maneira semelhante, se somente A é defeituosa, com probabilidade 20\%, o reparo permite vender a peça inteira com um lucro de \éç10. Se as duas peças são boas, o lucro é de $15.
a) Qual o lucro por peça produzida esperado?
R. $10.5
b) Qual a variância? e desvio padrão?

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória X que representa o lucro por peça e assume valores diferentes conforme qual parte (A ou B) está defeituosa. O conteúdo aqui é cálculo de esperança, variância e desvio padrão de uma distribuição discreta. Para resolver precisamos listar os possíveis valores de X, suas probabilidades, usar
E(X)=\sum p_i\,x_i,
\mathrm{Var}(X)=E\bigl(X^2\bigr)-\bigl[E(X)\bigr]^2,
e finalmente \sigma_X=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}.

Passo 2

Listamos os quatro cenários com suas probabilidades e lucros:
\begin{array}{ll} \text{1. Ambas defeituosas:}&p_1=0,10,\;x_1=-5,\\\ \text{2. Só B defeituosa:}&p_2=0,15,\;x_2=5,\\\ \text{3. Só A defeituosa:}&p_3=0,20,\;x_3=10,\\\ \text{4. Ambas boas:}&p_4=1-(0,10+0,15+0,20)=0,55,\;x_4=15. \end{array}óó

Passo 3

Calculamos a esperança:
E(X)=0,10\cdot(-5)+0,15\cdot5+0,20\cdot10+0,55\cdot15=-0,5+0,75+2+8,25=10,5.

Passo 4

Calculamos E(X^2):
E(X^2)=0,10\cdot(-5)^2+0,15\cdot5^2+0,20\cdot10^2+0,55\cdot15^2 =0,10\cdot25+0,15\cdot25+0,20\cdot100+0,55\cdot225 =2,5+3,75+20+123,75=150.

Passo 5

A variância é
\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-\bigl[E(X)\bigr]^2 =150-(10,5)^2 =150-110,25 =39,75.

Passo 6

O desvio padrão é
\sigma_X=\sqrt{\mathrm{Var}(X)} =\sqrt{39,75} \approx6,305.

Resposta

Esperança: \,E(X)=10,5.
Variância: \,\mathrm{Var}(X)=39,75.
Desvio padrão: \,\sigma_X\approx6,305.

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