A demanda por um certo produto pode ser vista como uma variável aleatória X cuja função de distribuição de probabilidade f_{X}(x) é estimada por
Número de unidades de landadas x 1 2 3 4
f_{x}(x)=P(X=x) 0,25 0,45 0,15 0,15
a) Verifique se f_{X}(x) realmente define uma fdp.
b) Obtenha a função de distribuição acumulada de X.
c) Usando a fda calculada no item anterior, calcule P(X \leq 3,5).
R. 0.85
d) Obtenha a E(X), \operatorname{Var}(X) e D P(X).

Passo 1

O enunciado trata de uma variável aleatória discreta X com possíveis valores em \{1,2,3,4\} e probabilidade f_X(x)=P(X=x) dada na tabela. Vamos verificar se isso é uma função de distribuição de probabilidade (fdp), construir a função de distribuição acumulada (fda), usar a fda para calcular P(X\le3,5) e, por fim, calcular E(X), \mathrm{Var}(X) e o desvio-padrão de X.

Passo 2

Para verificar se f_X é uma fdp precisamos checar duas coisas:
  1. Não negatividade: todos os valores 0,25, 0,45, 0,15 e 0,15 são \ge0.
  2. Soma das probabilidades igual a 1:
0,25 + 0,45 + 0,15 + 0,15 = 1,00.
Como essas condições se cumprem, f_X é de fato uma fdp válida.

Passo 3

A função de distribuição acumulada F_X(x)=P(X\le x) em cada intervalo de x é dada por:
F_X(x)= \begin{cases} 0, & x<1,\\\\ 0,25, & 1\le x<2,\\\\ 0,25+0,45=0,70, & 2\le x<3,\\\\ 0,70+0,15=0,85, & 3\le x<4,\\\\ 1, & x\ge4. \end{cases}

Passo 4

Para calcular P(X\le3,5) basta avaliar F_X(3{,}5). Como 3\le3{,}5<4, temos
P(X\le3,5)=F_X(3{,}5)=0,85.

Passo 5

Para E(X) e \mathrm{Var}(X) primeiro calculamos E(X) e E(X^2):
E(X)=1\cdot0,25+2\cdot0,45+3\cdot0,15+4\cdot0,15=2,20,
E(X^2)=1^2\cdot0,25+2^2\cdot0,45+3^2\cdot0,15+4^2\cdot0,15=5,80.
Logo,
\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=5,80-(2,20)^2=5,80-4,84=0,96.
O desvio-padrão é
\mathrm{DP}(X)=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}=\sqrt{0,96}\approx0,98.

Resposta

(a) Sim. As probabilidades são não-negativas e somam 1.
(b)
F_X(x)= \begin{cases} 0, & x<1,\\\\ 0,25, & 1\le x<2,\\\\ 0,70, & 2\le x<3,\\\\ 0,85, & 3\le x<4,\\\\ 1, & x\ge4. \end{cases}
(c) P(X\le3,5)=0,85.
(d) E(X)=2,20, \mathrm{Var}(X)=0,96, \mathrm{DP}(X)\approx0,98.

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