Considere o lançamento de três moedas e denote por
a ocorrência de cara e por C a ocorrência de coroa. Se ocorre o evento CCC, dizemos que temos uma sequência, ao passo que se ocorre o evento
temos três sequências. Defina a v.a.
número de caras obtidas e
número de sequências obtidas.
b) Calcule a esperança e desvio padrão de
e
.
b) Calcule a esperança e desvio padrão de
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre probabilidade envolvendo o lançamento de três moedas. Aqui, vamos trabalhar com duas variáveis aleatórias:
- X: número de caras (K) obtidas.
- Y: número de sequências obtidas.
Para resolver, vamos precisar entender conceitos básicos de probabilidade, como eventos, variáveis aleatórias, esperança (média) e desvio padrão. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as possíveis combinações ao lançar três moedas. Cada moeda pode dar cara (K) ou coroa ©, então temos:
- KKK
- KKC
- KCK
- KCC
- CKK
- CKC
- CCK
- CCC
No total, são 8 combinações possíveis.
Passo 3
Agora, vamos determinar o valor de Y, o número de sequências, para cada combinação:
- KKK: todas as mesmas, 1 sequência.
- KKC: K-K-C, 2 sequências.
- KCK: K-C-K, 3 sequências.
- KCC: K-C-C, 2 sequências.
- CKK: C-K-K, 2 sequências.
- CKC: C-K-C, 3 sequências.
- CCK: C-C-K, 2 sequências.
- CCC: todas as mesmas, 1 sequência.
Passo 4
Vamos agora associar cada combinação com os valores de X e Y:
Combinação | X (número de caras) | Y (número de sequências) |
---|---|---|
KKK | 3 | 1 |
KKC | 2 | 2 |
KCK | 2 | 3 |
KCC | 1 | 2 |
CKK | 2 | 2 |
CKC | 1 | 3 |
CCK | 1 | 2 |
CCC | 0 | 1 |
Passo 5
Vamos calcular agora a esperança (média) de X e Y. A esperança é a média ponderada dos possíveis valores, ou seja:
Como todas as combinações são igualmente prováveis, cada uma tem probabilidade $ \frac{1}{8} $.
Calculando E[X]:
Calculando E[Y]:
Passo 6
Agora, vamos calcular o desvio padrão de X e Y. Primeiro, precisamos encontrar a variância $ Var $, que é a média dos quadrados menos o quadrado da média:
Calculando $ E[X^2] $:
Então:
Calculando $ E[Y^2] $:
Então:
Resposta
A esperança de $ X $ é 1.5 e o desvio padrão de $ X $ é aproximadamente 0.866. A esperança de $ Y $ é 2 e o desvio padrão de $ Y $ é aproximadamente 0.707.