Considere o lançamento de três moedas e denote por K a ocorrência de cara e por C a ocorrência de coroa. Se ocorre o evento CCC, dizemos que temos uma sequência, ao passo que se ocorre o evento CKC temos três sequências. Defina a v.a. X= número de caras obtidas e Y= número de sequências obtidas.
b) Calcule a esperança e desvio padrão de X e Y.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre probabilidade envolvendo o lançamento de três moedas. Aqui, vamos trabalhar com duas variáveis aleatórias:
  • X: número de caras (K) obtidas.
  • Y: número de sequências obtidas.
Para resolver, vamos precisar entender conceitos básicos de probabilidade, como eventos, variáveis aleatórias, esperança (média) e desvio padrão. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as possíveis combinações ao lançar três moedas. Cada moeda pode dar cara (K) ou coroa ©, então temos:
  1. KKK
  2. KKC
  3. KCK
  4. KCC
  5. CKK
  6. CKC
  7. CCK
  8. CCC
No total, são 8 combinações possíveis.

Passo 3

Agora, vamos determinar o valor de Y, o número de sequências, para cada combinação:
  • KKK: todas as mesmas, 1 sequência.
  • KKC: K-K-C, 2 sequências.
  • KCK: K-C-K, 3 sequências.
  • KCC: K-C-C, 2 sequências.
  • CKK: C-K-K, 2 sequências.
  • CKC: C-K-C, 3 sequências.
  • CCK: C-C-K, 2 sequências.
  • CCC: todas as mesmas, 1 sequência.

Passo 4

Vamos agora associar cada combinação com os valores de X e Y:
Combinação X (número de caras) Y (número de sequências)
KKK 3 1
KKC 2 2
KCK 2 3
KCC 1 2
CKK 2 2
CKC 1 3
CCK 1 2
CCC 0 1

Passo 5

Vamos calcular agora a esperança (média) de X e Y. A esperança é a média ponderada dos possíveis valores, ou seja:
E[X] = sum (x times P(x))
E[Y] = sum (y times P(y))
Como todas as combinações são igualmente prováveis, cada uma tem probabilidade $ \frac{1}{8} $.
Calculando E[X]:
18
Calculando E[Y]:
E[X] = 38 + 28 + 28 + 18 + 28 + 18 + 18 + 08 = 128 = 1.5

Passo 6

Agora, vamos calcular o desvio padrão de X e Y. Primeiro, precisamos encontrar a variância $ Var $, que é a média dos quadrados menos o quadrado da média:
Var
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2
Calculando $ E[X^2] $:
Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2
Então:
E[X^2]
E[X^2] = 98 + 48 + 48 + 18 + 48 + 18 + 18 + 08 = 248 = 3 ã
Calculando $ E[Y^2] $:
Var(X) = 3 - (1.5)^2 = 3 - 2.25 = 0.75
Então:
Desvio Padrão de X = raiz0.75 approx 0.866
E[Y^2] ã

Resposta

A esperança de $ X $ é 1.5 e o desvio padrão de $ X $ é aproximadamente 0.866. A esperança de $ Y $ é 2 e o desvio padrão de $ Y $ é aproximadamente 0.707.

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