Uma empresa de aluguel de carros tem em sua frota 4 carros de luxo e ela aluga esses carros por dia, segundo a seguinte função de distribuição de probabilidade:
Número de carros alugados/dia 0 1 2 3 4
Probabilidade de alugar 0,10 0,30 0,30 0,20 0,10
O valor do aluguel é de R por dia; a despesa total com manutenção é de por dia; a despesa total com manutenção é de por dia quando o carro é alugado e de 500,00 por dia quando o carro não é alugado. Calcule:
b) a média e o desvio padrão do lucro diário com o aluguel dos carros de luxo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte b do exercício! Aqui, queremos encontrar a média e o desvio padrão do lucro diário que a empresa tem com o aluguel dos carros de luxo. Vamos usar conceitos de probabilidade e estatística para isso. Precisaremos entender como calcular o lucro para cada quantidade de carros alugados e depois usar a distribuição de probabilidade fornecida para encontrar a média e a variação desse lucro.

Passo 2

Primeiro, vamos definir como calcular o lucro diário. O lucro depende de quantos carros são alugados. Para cada carro alugado, a empresa recebe R$ 2000,00, mas também tem custos de manutenção de R$ 500,00 por carro alugado e R$ 200,00 por carro não alugado. Vamos chamar o número de carros alugados por $ N $.

Passo 3

Vamos expressar o lucro $ L $ em função de $ N $:
L
Aqui, $ 4 - N $ representa o número de carros não alugados.

Passo 4

Simplificando a expressão:
L = 1500N - 800
Então, o lucro diário depende linearmente de $ N $.

Passo 5

Agora, para encontrar a média do lucro, precisamos calcular a média de $ N $ usando a distribuição de probabilidade fornecida:
N
Calculando:
E[N] = sum (N times P(N)) = 0 times 0,10 + 1 times 0,30 + 2 times 0,30 + 3 times 0,20 + 4 times 0,10

Passo 6

Com a média de $ N $, podemos encontrar a média do lucro $ E[L] $:
N
Então, a média do lucro diário é de R$ 2050,00.

Passo 7

Para o desvio padrão, primeiro precisamos calcular a variância de $ N $. Primeiro, calculamos $ E[N^2] $:
N
Calculando:
E[N^2]
A variância é:
E[N^2] = sum (N^2 times P(N)) = 0^2 times 0,10 + 1^2 times 0,30 + 2^2 times 0,30 + 3^2 times 0,20 + 4^2 times 0,10

Passo 8

Agora, como o lucro $ L = 1500N - 800 $, a variância de $ L $ é:
L = 1500N - 800
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
L

Resposta

A média do lucro diário é de R$ 2.050,00 e o desvio padrão do lucro é aproximadamente R$ 1.703,66.

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