Uma empresa de aluguel de carros tem em sua frota 4 carros de luxo e ela aluga esses carros por dia, segundo a seguinte função de distribuição de probabilidade:
Número de carros alugados/dia | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|
Probabilidade de alugar | 0,10 | 0,30 | 0,30 | 0,20 | 0,10 |
O valor do aluguel é de
por dia; a despesa total com manutenção é de
por dia quando o carro é alugado e de
por dia quando o carro não é alugado. Calcule:
b) a média e o desvio padrão do lucro diário com o aluguel dos carros de luxo.
b) a média e o desvio padrão do lucro diário com o aluguel dos carros de luxo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte b do exercício! Aqui, queremos encontrar a média e o desvio padrão do lucro diário que a empresa tem com o aluguel dos carros de luxo. Vamos usar conceitos de probabilidade e estatística para isso. Precisaremos entender como calcular o lucro para cada quantidade de carros alugados e depois usar a distribuição de probabilidade fornecida para encontrar a média e a variação desse lucro.
Passo 2
Primeiro, vamos definir como calcular o lucro diário. O lucro depende de quantos carros são alugados. Para cada carro alugado, a empresa recebe R$ 2000,00, mas também tem custos de manutenção de R$ 500,00 por carro alugado e R$ 200,00 por carro não alugado. Vamos chamar o número de carros alugados por $ N $.
Passo 3
Vamos expressar o lucro $ L $ em função de $ N $:
Aqui, $ 4 - N $ representa o número de carros não alugados.
Passo 4
Simplificando a expressão:
Então, o lucro diário depende linearmente de $ N $.
Passo 5
Agora, para encontrar a média do lucro, precisamos calcular a média de $ N $ usando a distribuição de probabilidade fornecida:
Calculando:
Passo 6
Com a média de $ N $, podemos encontrar a média do lucro $ E[L] $:
Então, a média do lucro diário é de R$ 2050,00.
Passo 7
Para o desvio padrão, primeiro precisamos calcular a variância de $ N $. Primeiro, calculamos $ E[N^2] $:
Calculando:
A variância é:
Passo 8
Agora, como o lucro $ L = 1500N - 800 $, a variância de $ L $ é:
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Resposta
A média do lucro diário é de R$ 2.050,00 e o desvio padrão do lucro é aproximadamente R$ 1.703,66.