Considere o lançamento de três moedas (sendo C: cara e R: coroa). Se ocorre o evento CCC, dizemos que temos uma sequência, ao passo que se ocorre o evento CRC temos três sequências. Defina a variável aleatória X= número de caras obtidas e Y= número de sequências, isso para cada resultado possível. (Exemplos: X(C R R)=1, X(C R C)=2, Y(C R R)=2 e Y(C R C)=3). Obtenha as distribuições de X e Y. Calcule
E(X), E(Y), VAR(X) e VAR(Y). Calcule a função de distribuição acumulada da variável aleatória Y faça seu gráfico.

Passo 1

Estamos jogando três moedas e definimos duas variáveis aleatórias: X é o número de caras (C) obtidas e Y é o número de sequências (runs) de resultados iguais. Vamos obter as distribuições marginais de X e Y, suas esperanças, variâncias e a função de distribuição acumulada de Y.

Passo 2

Listamos todos os 8 resultados possíveis, calculando X e Y em cada um:
CCC: X=3, Y=1
CCR: X=2, Y=2
CRC: X=2, Y=3
CRR: X=1, Y=2
RCC: X=2, Y=2
RCR: X=1, Y=3
RRC: X=1, Y=2
RRR: X=0, Y=1.

Passo 3

Distribuição de X: contamos quantas vezes cada valor aparece e dividimos por 8:
PX(x)=1/8,&x=03/8,&x=13/8,&x=21/8,&x=30,&caso contrárioá

Passo 4

Distribuição de Y: de modo análogo,
PY(y)=1/4,&y=11/2,&y=21/4,&y=30,&caso contrárioá

Passo 5

Cálculo de E(X) e Var(X):
E(X)=sumx xPX(x)=0cdot1+1cdot3+2cdot3+3cdot18=1.5
E(X^2)=0^2cdot1+1^2cdot3+2^2cdot3+3^2cdot18=3
Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=3-(1.5)^2=0.75

Passo 6

Cálculo de E(Y) e Var(Y):
E(Y)=1cdot2+2cdot4+3cdot28=2
E(Y^2)=1^2cdot2+2^2cdot4+3^2cdot28=4.5
Var(Y)=4.5-(2)^2=0.5

Passo 7

Função de distribuição acumulada de
O gráfico é um degrau que salta para 0.25 em e atinge 1 em .

Resposta

Distribuição de X: P(X=0)=1/8, P(X=1)=3/8, P(X=2)=3/8, P(X=3)=1/8; distribuição de Y: P(Y=1)=1/4, P(Y=2)=1/2, P(Y=3)=1/4. E(X)=1.5, Var(X)=0.75; E(Y)=2, Var(Y)=0.5. CDF de Y: F_Y(y)=0 para y<1, =1/4 para 1≤y<2, =3/4 para 2≤y<3, =1 para y≥3.

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