Considere o lançamento de três moedas (sendo C: cara e R: coroa). Se ocorre o evento CCC, dizemos que temos uma sequência, ao passo que se ocorre o evento CRC temos três sequências. Defina a variável aleatória número de caras obtidas e número de sequências, isso para cada resultado possível. (Exemplos: , e . Obtenha as distribuições de e . Calcule e . Calcule a função de distribuição acumulada da variável aleatória faça seu gráfico.
Passo 1
Estamos jogando três moedas e definimos duas variáveis aleatórias: é o número de caras (C) obtidas e é o número de sequências (runs) de resultados iguais. Vamos obter as distribuições marginais de e , suas esperanças, variâncias e a função de distribuição acumulada de .
Passo 2
Listamos todos os 8 resultados possíveis, calculando e em cada um: .
Passo 3
Distribuição de : contamos quantas vezes cada valor aparece e dividimos por 8:
Passo 4
Distribuição de Y: de modo análogo,
PY(y)=1/4,&y=11/2,&y=21/4,&y=30,&caso contrárioá
Passo 5
Cálculo de E(X) e Var(X):
E(X)=sumx xPX(x)=0cdot1+1cdot3+2cdot3+3cdot18=1.5
E(X^2)=0^2cdot1+1^2cdot3+2^2cdot3+3^2cdot18=3
Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=3-(1.5)^2=0.75
Passo 6
Cálculo de E(Y) e Var(Y):
E(Y)=1cdot2+2cdot4+3cdot28=2
E(Y^2)=1^2cdot2+2^2cdot4+3^2cdot28=4.5
Var(Y)=4.5-(2)^2=0.5
Passo 7
Função de distribuição acumulada de
O gráfico é um degrau que salta para 0.25 em e atinge 1 em .
Resposta
Distribuição de X: P(X=0)=1/8, P(X=1)=3/8, P(X=2)=3/8, P(X=3)=1/8; distribuição de Y: P(Y=1)=1/4, P(Y=2)=1/2, P(Y=3)=1/4. E(X)=1.5, Var(X)=0.75; E(Y)=2, Var(Y)=0.5. CDF de Y: F_Y(y)=0 para y<1, =1/4 para 1≤y<2, =3/4 para 2≤y<3, =1 para y≥3.