Uma moeda viciada tem probabilidade de cara igual a 0,4. Para dois lançamentos consecutivos dessa moeda faça o seguinte estudo da variável aleatória X : número de caras obtidas no experimento. Obtenha:
(a) A distribuição de probabilidade e seu gráfico.
(b) A função distribuição de probabilidade e seu gráfico.
(c) E(X), VAR(X) e D P(X).

Passo 1

O enunciado descreve um experimento de dois lançamentos de uma moeda viciada com probabilidade de cara igual a 0,4. A variável aleatória X é o número de caras obtidas. Isso é um caso clássico de distribuição binomial com parâmetros n=2 e p=0.4. Vamos usar a fórmula P(X=k)=binom2kp^k(1-p)^2-k, construir o gráfico da PMF, em seguida a função distribuição acumulada (CDF) e seu gráfico, e por fim calcular E(X), Var(X) e DP(X).

Passo 2

Para a distribuição de probabilidade (PMF) usamos
P(X=k)=binom2k(0.4)^k(0.6)^2-k, k=0,1,2
Calculando:
P(X=0)=binom20(0.4)^0(0.6)^2=0.36, P(X=1)=binom21(0.4)^1(0.6)^1=2times0.4times0.6=0.48, P(X=2)=binom22(0.4)^2(0.6)^0=0.16

Passo 3

O gráfico da PMF é um histograma de barras em k=0,1,2 com alturas
P(0)=0.36, P(1)=0.48, P(2)=0.16
Em cada valor de k desenhamos uma barra com a respectiva probabilidade.

Passo 4

A função distribuição acumulada (CDF) é
F(x)=P(X<= x)= 0,&x<0, 0.36,&0<= x<1, 0.36+0.48=0.84,&1<= x<2, 1,&x>=2
O gráfico é uma escada que salta em x=0 de 0 para 0.36, em x=1 para 0.84, e em x=2 para 1.

Passo 5

Para momentos, como XsimBin(2,0.4), vale
E(X)=np=2times0.4=0.8,
Var(X)=np(1-p)=2times0.4times0.6=0.48,
DP(X)=raizVar(X)=raiz0.48approx0.693

Resposta

Distribuição de probabilidade: P(X=0)=0.36, P(X=1)=0.48, P(X=2)=0.16. Função distribuição acumulada:
F(x)= 0,&x<0, 0.36,&0<= x<1, 0.84,&1<= x<2, 1,&x>=2
Esperança E(X)=0.8, variância Var(X)=0.48 e desvio-padrão

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