Considere novamente a urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Seja
a variável aleatória igual ao número de bolas pretas, depois de três extrações sem reposição. Encontre a distribuição de
e
. Calcule a esperança e a variância dessas novas distribuições.
Passo 1
O enunciado define uma urna com 3 bolas vermelhas e 5 bolas pretas, faz 3 extrações sem reposição e toma X como o número de bolas pretas obtidas. O conteúdo é distribuição hipergeométrica e precisamos achar a distribuição de 3X e X², bem como suas esperanças e variâncias.
Passo 2
Para achar a distribuição de X usamos a fórmula hipergeométrica: para k=0,1,2,3
Calculando:
Passo 3
A partir da distribuição de X, a variável 3X só assume os valores 0,3,6,9 com as mesmas probabilidades de X:
Passo 4
De forma análoga, X² só assume os valores 0,1,4,9 com probabilidades
Passo 5
Como 3X é transformação linear de X,
Usando a fórmula da hipergeométrica temos
Logo
Passo 6
Para X² calculamos
Então
Resposta
Distribuição de 3X em {0,3,6,9} com probabilidades
. Distribuição de X² em {0,1,4,9} com probabilidades
. Para 3X:
. Para X²:
.