Considere novamente a urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Seja X a variável aleatória igual ao número de bolas pretas, depois de três extrações sem reposição. Encontre a distribuição de 3 X e X^2. Calcule a esperança e a variância dessas novas distribuições.

Passo 1

O enunciado define uma urna com 3 bolas vermelhas e 5 bolas pretas, faz 3 extrações sem reposição e toma X como o número de bolas pretas obtidas. O conteúdo é distribuição hipergeométrica e precisamos achar a distribuição de 3X e X², bem como suas esperanças e variâncias.

Passo 2

Para achar a distribuição de X usamos a fórmula hipergeométrica: para k=0,1,2,3
P(X=k)=binom5k,binom33-kbinom83
Calculando:
P(X=0)=1/56, P(X=1)=15/56, P(X=2)=30/56, P(X=3)=10/56

Passo 3

A partir da distribuição de X, a variável 3X só assume os valores 0,3,6,9 com as mesmas probabilidades de X:
P(3X=0)=1/56, P(3X=3)=15/56, P(3X=6)=30/56, P(3X=9)=10/56

Passo 4

De forma análoga, X² só assume os valores 0,1,4,9 com probabilidades
P(X^2=0)=1/56, P(X^2=1)=15/56, P(X^2=4)=30/56, P(X^2=9)=10/56

Passo 5

Como 3X é transformação linear de X,
E(3X)=3E(X), Var(3X)=9Var(X)
Usando a fórmula da hipergeométrica temos
E(X)=3cdot58=158, Var(X)=3cdot5cdot3cdot58^2cdot7=225448
Logo
E(3X)=458, Var(3X)=2025448

Passo 6

Para X² calculamos
E(X^2)=sumk=0^3k^2P(X=k)=22556,
E(X^4)=sumk=0^3k^4P(X=k)=130556
Então
Var(X^2)=E(X^4)-[E(X^2)]^2=130556-l(22556r)^2=224553136

Resposta

Distribuição de 3X em {0,3,6,9} com probabilidades 1/56,,15/56,,30/56,,10/56. Distribuição de X² em {0,1,4,9} com probabilidades 1/56,,15/56,,30/56,,10/56. Para 3X: E(3X)=45/8, Var(3X)=2025/448. Para X²: E(X^2)=225/56, Var(X^2)=22455/3136.

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