A distribuição do número de imperfeições por dez metros de um tecido sintético é dada por
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0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|
|
0,5 | 0,25 | 0,20 | 0,04 | 0,01 |
(a) Determine a função de probabilidades de
e esboce o seu gráfico;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a distribuição do número de imperfeições por dez metros de um tecido sintético. Estamos trabalhando com probabilidade e distribuições de probabilidade discretas. Para resolver, vamos identificar a função de probabilidade de $ X $ e depois esboçar o gráfico dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função de probabilidade. Para uma variável aleatória discreta $ X $, a função de probabilidade $ P(X = k) $ atribui a probabilidade de $ X $ assumir cada valor possível $ k $.
Passo 3
Olha só a tabela que foi dada:
$ k $ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|
$ p(k) $ | 0,5 | 0,25 | 0,20 | 0,04 | 0,01 |
Aqui, $ k $ representa o número de imperfeições e $ p(k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ imperfeções.
Passo 4
Agora, vamos escrever a função de probabilidade $ P(X = k) $ usando a tabela:
Passo 5
Para garantir que essa é realmente uma função de probabilidade válida, vamos verificar se a soma de todas as probabilidades é igual a 1:
Perfeito! Então, está tudo certinho.
Passo 6
Agora, vamos esboçar o gráfico da função de probabilidade. Como $ X $ é discreta, o gráfico será uma série de barras onde a altura de cada barra corresponde à probabilidade $ p(k) $ para cada $ k $.
Passo 7
No eixo horizontal (x) colocamos os valores de $ k $ (0, 1, 2, 3, 4) e no eixo vertical (y) as probabilidades correspondentes (0,5; 0,25; 0,20; 0,04; 0,01). Cada $ k $ terá uma barra na altura de $ p(k) $.
Passo 8
Aqui está um esboço de como o gráfico ficará:
p(k)
|
0,6 | _
0,5 |█ |
0,4 |█ |
0,3 |█ |
0,2 |█ █ |
0,1 |█ █ | █ █
0,0 |-------------------------
0 1 2 3 4
k
Cada bloco representa a altura da probabilidade para cada valor de $ k $.
Resposta
A função de probabilidade de $ X $ é:
E o gráfico dessa função é composto por barras nas alturas correspondentes a cada $ p(k) $ para $ k = 0, 1, 2, 3, 4 $.