A distribuição do número de imperfeições por dez metros de um tecido sintético é dada por
k 0 1 2 3 4
p(k) 0,5 0,25 0,20 0,04 0,01
(a) Determine a função de probabilidades de X e esboce o seu gráfico;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a distribuição do número de imperfeições por dez metros de um tecido sintético. Estamos trabalhando com probabilidade e distribuições de probabilidade discretas. Para resolver, vamos identificar a função de probabilidade de $ X $ e depois esboçar o gráfico dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função de probabilidade. Para uma variável aleatória discreta $ X $, a função de probabilidade $ P(X = k) $ atribui a probabilidade de $ X $ assumir cada valor possível $ k $.

Passo 3

Olha só a tabela que foi dada:
$ k $ 0 1 2 3 4
$ p(k) $ 0,5 0,25 0,20 0,04 0,01
Aqui, $ k $ representa o número de imperfeições e $ p(k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ imperfeções.

Passo 4

Agora, vamos escrever a função de probabilidade $ P(X = k) $ usando a tabela:
P(X = k) á

Passo 5

Para garantir que essa é realmente uma função de probabilidade válida, vamos verificar se a soma de todas as probabilidades é igual a 1:
0,5 + 0,25 + 0,20 + 0,04 + 0,01 = 1
Perfeito! Então, está tudo certinho.

Passo 6

Agora, vamos esboçar o gráfico da função de probabilidade. Como $ X $ é discreta, o gráfico será uma série de barras onde a altura de cada barra corresponde à probabilidade $ p(k) $ para cada $ k $.

Passo 7

No eixo horizontal (x) colocamos os valores de $ k $ (0, 1, 2, 3, 4) e no eixo vertical (y) as probabilidades correspondentes (0,5; 0,25; 0,20; 0,04; 0,01). Cada $ k $ terá uma barra na altura de $ p(k) $.

Passo 8

Aqui está um esboço de como o gráfico ficará:
p(k)
|
0,6 |        _
0,5 |█      |
0,4 |█      |
0,3 |█      |
0,2 |█   █  |
0,1 |█   █  |   █   █
0,0 |-------------------------
      0   1    2    3    4
             k
Cada bloco representa a altura da probabilidade para cada valor de $ k $.

Resposta

A função de probabilidade de $ X $ é:
X á
E o gráfico dessa função é composto por barras nas alturas correspondentes a cada $ p(k) $ para $ k = 0, 1, 2, 3, 4 $.

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