Exercício 08: As probabilidades de que duas pessoas A e B resolvam um problema são: \mathrm{P}(\mathrm{A})=1 / 3 e \mathrm{P}(\mathrm{B})= 3/5. Admitindo que as duas pessoas tentem resolver o problema de forma independente, qual a probabilidade de que:
B resolva o problema, mas A não?

Passo 1

O enunciado dá as probabilidades:
  • \mathrm{P}(\mathrm{A})=\dfrac{1}{3}.
  • \mathrm{P}(\mathrm{B})=\dfrac{3}{5}.
    Admitiu-se que os eventos “A resolve” e “B resolve” são independentes.
    A pergunta é: qual a probabilidade de que B resolva o problema e ao mesmo tempo A não resolva? Em notação de eventos, quer-se \mathrm{P}\big(\mathrm{B}\cap \mathrm{A}^c\big), onde \mathrm{A}^c é o evento complementar “A não resolve”.

Passo 2

Explicando a ideia que vamos usar (passo-a-passo, sem pressa):
  • Independência significa, informalmente, que o fato de A resolver não altera a chance de B resolver e vice-versa. Matematicamente, para eventos independentes vale a regra de multiplicação
\mathrm{P}\big(\mathrm{B}\cap \mathrm{A}\big)=\mathrm{P}(\mathrm{B})\cdot\mathrm{P}(\mathrm{A}).
  • Essa propriedade também implica que \mathrm{B} é independente de \mathrm{A}^c, logo
\mathrm{P}\big(\mathrm{B}\cap \mathrm{A}^c\big)=\mathrm{P}(\mathrm{B})\cdot\mathrm{P}(\mathrm{A}^c).
  • O complementar de \mathrm{A} tem probabilidade
\mathrm{P}(\mathrm{A}^c)=1-\mathrm{P}(\mathrm{A}).
Aqui, \mathrm{P}(\mathrm{A}) é a probabilidade de A resolver; \mathrm{P}(\mathrm{A}^c) é a probabilidade de A não resolver.

Passo 3

Calculemos \mathrm{P}(\mathrm{A}^c):
\mathrm{P}(\mathrm{A}^c)=1-\mathrm{P}(\mathrm{A})=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}.
Agora use a regra do produto (independência) para \mathrm{P}\big(\mathrm{B}\cap \mathrm{A}^c\big):
\mathrm{P}\big(\mathrm{B}\cap \mathrm{A}^c\big)=\mathrm{P}(\mathrm{B})\cdot\mathrm{P}(\mathrm{A}^c)=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{2}{3}.
Simplificando a multiplicação:
\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{3\cdot2}{5\cdot3}=\dfrac{2}{5}.

Passo 4

Interpretação final rápida: a probabilidade procurada é \dfrac{2}{5}, ou seja 0,4 (40%). Boa notícia: deu uma conta curta e direta — você consegue aplicar isso rápido na prova.

Resposta

\dfrac{2}{5}

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