Considere A=(T)_{C}=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 0 & -1\end{array}\right). Calcule:
(a) A^{50};
(b) A^{2025}.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 0 & -1\end{pmatrix}
e pede A^{50}\) e \(A^{2025}\). O conteúdo principal é cálculo de potência de matriz triangular. Uma estratégia eficiente é verificar se existe um pequeno valor de \(k\) tal que \(A^k=I\). Se encontrarmos \(A^2=I\), então toda potência de \(A\) satisfaz \[A^n = \begin{cases} I, & \text{se \(n for par},\ A, & se n for ímpar. \end{cases}]

Passo 2

Vamos calcular diretamente
A^2 =\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 0 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\cdot1 + 2\cdot0 & 1\cdot2 + 2\cdot(-1)\\\\ 0\cdot1 + (-1)\cdot0 & 0\cdot2 + (-1)\cdot(-1) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} =I.

Passo 3

Como A^2=I\), concluímos que \[A^n = \begin{cases} I, & \text{se \(n é par},\ A, & se n é ímpar. \end{cases}]

Passo 4

a) Como 50 é par, tem-se
A^{50}=I.
b) Como 2025 é ímpar, tem-se
A^{2025}=A =\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 0 & -1\end{pmatrix}.

Resposta

(a) A^{50}=I.
(b) A^{2025}=A=\displaystyle\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 0 & -1\end{pmatrix}.

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