Considere os seguintes vetores V_{1}=(-1,-1,0,2), V_{2}=(-2,-4,2,6) e V_{3}=(1,3,-2,-4).
(a) Entre os vetores V_{4}=(3,1,2,-4), V_{5}=(-2,-1,-1,3) e V_{6}=(-4,-3,-2,-2), quais são combinação linear de V_{1}, V_{2} e V_{3} ? Para os que são combinação linear de V_{1}, V_{2} e V_{3} escreva a combinação linear.
(b) Os vetores V_{1}, V_{2} e V_{3} são LD ou LI? Caso sejam LD escreva um deles como combinação linear dos outros.
são combinação linear de V_1,V_2,V_3, escrevendo a combinação quando existir; em (b) se V_1,V_2,V_3 são linearmente dependentes (LD) ou independentes (LI) e, se LD, exibir uma relação de dependência. Para isso vamos montar e resolver sistemas lineares.
Passo 2
Verificamos se existem \alpha,\beta,\gamma\) tais que
\[\alpha V_1+\beta V_2+\gamma V_3=V_4.
Da terceira equação vem \beta-\gamma=1\implies\beta=\gamma+1\]. Substituindo nas demais todas se reduzem a
\(\alpha+\gamma=-5. Há, pois, infinitas soluções; por exemplo, tomando \gamma=0 obtemos \alpha=-5,\;\beta=1. Logo
V_{4}=-5\,V_{1}+1\,V_{2}+0\,V_{3}.
Passo 3
Fazemos o mesmo para V_5\):
\[\alpha V_1+\beta V_2+\gamma V_3=V_5 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} -\alpha-2\beta+\gamma=-2,\\\\ -\alpha-4\beta+3\gamma=-1,\\\\ 2\beta-2\gamma=-1,\\\\ 2\alpha+6\beta-4\gamma=3. \end{cases}
Da terceira equação vem \beta-\gamma=-\tfrac12\implies\beta=\gamma-\tfrac12\]. Substituindo nas outras surge \(\alpha+\gamma=3. Por exemplo, com \gamma=0 segue \alpha=3, \beta=-\tfrac12. Assim
Da terceira equação \beta=\gamma-1\]. Nas duas primeiras obtemos \(\alpha+\gamma=6 e \alpha+\gamma=7, contradição. Então não há solução e V_6 não está no span\{V_1,V_2,V_3\}.
Passo 5
Para decidir LD/LI de V_1,V_2,V_3\) montamos o sistema homogêneo
\[xV_1+yV_2+zV_3=0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} -x-2y+z=0,\\\\ -x-4y+3z=0,\\\\ 2y-2z=0,\\\\ 2x+6y-4z=0. \end{cases}
Da terceira equação y=z\]. Da primeira \(x=-z. Isso satisfaz as demais, logo há solução não trivial. Por exemplo, tomando z=1 dá