Considere os seguintes vetores V_{1}=(-1,-1,0,2), V_{2}=(-2,-4,2,6) e V_{3}=(1,3,-2,-4).
(a) Entre os vetores V_{4}=(3,1,2,-4), V_{5}=(-2,-1,-1,3) e V_{6}=(-4,-3,-2,-2), quais são combinação linear de V_{1}, V_{2} e V_{3} ? Para os que são combinação linear de V_{1}, V_{2} e V_{3} escreva a combinação linear.
(b) Os vetores V_{1}, V_{2} e V_{3} são LD ou LI? Caso sejam LD escreva um deles como combinação linear dos outros.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb R^4:
V_{1}=(-1,-1,0,2),\quad V_{2}=(-2,-4,2,6),\quad V_{3}=(1,3,-2,-4)
e pergunta em (a) quais dentre
V_{4}=(3,1,2,-4),\; V_{5}=(-2,-1,-1,3),\; V_{6}=(-4,-3,-2,-2)
são combinação linear de V_1,V_2,V_3, escrevendo a combinação quando existir; em (b) se V_1,V_2,V_3 são linearmente dependentes (LD) ou independentes (LI) e, se LD, exibir uma relação de dependência. Para isso vamos montar e resolver sistemas lineares.

Passo 2

Verificamos se existem \alpha,\beta,\gamma\) tais que \[\alpha V_1+\beta V_2+\gamma V_3=V_4.
Isso dá o sistema
\begin{cases} -\alpha-2\beta+\gamma=3,\\\\ -\alpha-4\beta+3\gamma=1,\\\ \;2\beta-2\gamma=2,\\\\ 2\alpha+6\beta-4\gamma=-4. \end{cases}
Da terceira equação vem \beta-\gamma=1\implies\beta=\gamma+1\]. Substituindo nas demais todas se reduzem a \(\alpha+\gamma=-5. Há, pois, infinitas soluções; por exemplo, tomando \gamma=0 obtemos \alpha=-5,\;\beta=1. Logo
V_{4}=-5\,V_{1}+1\,V_{2}+0\,V_{3}.

Passo 3

Fazemos o mesmo para V_5\): \[\alpha V_1+\beta V_2+\gamma V_3=V_5 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} -\alpha-2\beta+\gamma=-2,\\\\ -\alpha-4\beta+3\gamma=-1,\\\\ 2\beta-2\gamma=-1,\\\\ 2\alpha+6\beta-4\gamma=3. \end{cases}
Da terceira equação vem \beta-\gamma=-\tfrac12\implies\beta=\gamma-\tfrac12\]. Substituindo nas outras surge \(\alpha+\gamma=3. Por exemplo, com \gamma=0 segue \alpha=3, \beta=-\tfrac12. Assim
V_{5}=3\,V_{1}-\tfrac12\,V_{2}+0\,V_{3}.

Passo 4

Para V_6\) montamos \[\alpha V_1+\beta V_2+\gamma V_3=V_6 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} -\alpha-2\beta+\gamma=-4,\\\\ -\alpha-4\beta+3\gamma=-3,\\\\ 2\beta-2\gamma=-2,\\\\ 2\alpha+6\beta-4\gamma=-2. \end{cases}
Da terceira equação \beta=\gamma-1\]. Nas duas primeiras obtemos \(\alpha+\gamma=6 e \alpha+\gamma=7, contradição. Então não há solução e V_6 não está no span \{V_1,V_2,V_3\}.

Passo 5

Para decidir LD/LI de V_1,V_2,V_3\) montamos o sistema homogêneo \[xV_1+yV_2+zV_3=0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} -x-2y+z=0,\\\\ -x-4y+3z=0,\\\\ 2y-2z=0,\\\\ 2x+6y-4z=0. \end{cases}
Da terceira equação y=z\]. Da primeira \(x=-z. Isso satisfaz as demais, logo há solução não trivial. Por exemplo, tomando z=1
-1\cdot V_1+1\cdot V_2+1\cdot V_3=0 \;\Longrightarrow\; V_1=V_2+V_3.
Portanto V_1,V_2,V_3 são linearmente dependentes.

Resposta

(a) As combinações lineares existem para V_{4} e V_{5}, mas não para V_{6}:
V_{4}=-5\,V_{1}+1\,V_{2},\qquad V_{5}=3\,V_{1}-\tfrac12\,V_{2}.
(b) V_{1},V_{2},V_{3} são linearmente dependentes; de fato
V_{1}=V_{2}+V_{3}.

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