Considere as transformações T: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} dada pelas matrizes a seguir ( C é base canônica).
  1. (T)_{C}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)
  2. (T)_{C}=\left(\begin{array}{cccc}3 & 0 & -4 & 0 \\\\ 0 & 3 & 5 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right)
  3. (T)_{C}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\\\ 2 & 1 & -2 \\\\ 2 & 2 & -3\end{array}\right)
  4. (T)_{C}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\ m & 2 & 0 \\\ n & 0 & 2\end{array}\right)
    (a) Para cada transformação, encontre os autovalores e os autovetores correspondentes.
    (b) Para cada autovalor encontre as multiplicidade algébrica e geométrica.
    (c) Quais transformações são diagonalizáveis?

Passo 1

O enunciado pede para, em cada uma das quatro matrizes triangulares, encontrar
  1. os autovalores \lambda e vetores próprios (autovetores)
  2. as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor
  3. concluir quais transformações são diagonalizáveis
Vamos usar que, para matriz triangular, os autovalores são os elementos da diagonal, que a multiplicidade algébrica é a multiplicidade desse valor no polinômio característico, e que a multiplicidade geométrica é a dimensão do espaço nulo de (A-\lambda I). Uma transformação é diagonalizável se, para todo \lambda, a multiplicidade geométrica iguala a algébrica e a soma das geométricas é n.

Passo 2

Matriz 1:
A_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 3\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}
Os autovalores estão na diagonal:
\lambda=1\\ (\text{algébrica }2), \quad \lambda=-1\\ (\text{algébrica }1).éé
Para \lambda=1,
A_1 - I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 3\\\\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{sist.} } 2v_3=0,\;3v_3=0,\;-2v_3=0 \;\Rightarrow\;v_3=0,
logo v_1,v_2 livres.
Um conjunto de autovetores é
\{(1,0,0),\,(0,1,0)\},
dimensão do espaço próprio =2.
Para \lambda=-1,
A_1 + I = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2\\\\ 0 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{sist.}} 2v_1 + 2v_3=0,\;2v_2+3v_3=0
\Rightarrow v_1=-v_3,\;v_2=-\tfrac{3}{2}v_3,\;v_3 livre.
Um autovetor é, por exemplo,
(-2,-3,2).
dimensão do espaço próprio =1.

Passo 3

Matriz 2:
A_2=\begin{pmatrix} 3 & 0 & -4 & 0\\\\ 0 & 3 & 5 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}
Autovalores:
\lambda=3 (algébrica 2),
\lambda=-1 (algébrica 2).
Para \lambda=3,
A_2 - 3I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -4 & 0\\\\ 0 & 0 & 5 & 0\\\\ 0 & 0 & -4 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{pmatrix} \;\Rightarrow\;v_3=0,\;v_4=0,
v_1,v_2 livres. Base do espaço próprio
\{(1,0,0,0),\,(0,1,0,0)\}, dimensão 2.
Para \lambda=-1,
A_2 + I = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -4 & 0\\\\ 0 & 4 & 5 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \;\Rightarrow\; 4v_1 -4v_3=0,\;4v_2+5v_3=0,
v_1=v_3,\;v_2=-\tfrac54v_3,\;v_3,v_4 livres. Base
\{(1,-\tfrac54,1,0),\,(0,0,0,1)\}, dimensão 2.

Passo 4

Matriz 3:
A_3=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2\\\\ 2 & 1 & -2\\\\ 2 & 2 & -3 \end{pmatrix}
O polinômio característico dá
\det(A_3-\lambda I)=(1-\lambda)(-1+\lambda)^2 \;\Longrightarrow\; \lambda=1\,(1),\;\lambda=-1\,(2).
Para \lambda=1,
A_3 - I = \begin{pmatrix}0&2&-2\\\ 2&0&-2\\\ 2&2&-4\end{pmatrix} \;\Rightarrow\; v_1=v_3,\;v_2=v_3,
autovetor (1,1,1), dimensão 1.
Para \lambda=-1,
A_3 + I = \begin{pmatrix}2&2&-2\\\ 2&2&-2\\\ 2&2&-2\end{pmatrix} \;\Rightarrow\; v_1+v_2-v_3=0,
dimensão do espaço nulo =2.

Passo 5

Matriz 4:
A_4=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ m & 2 & 0\\\ n & 0 & 2 \end{pmatrix}
Autovalores:
\lambda=1\,(1),
\lambda=2\,(2).
Para \lambda=1,
A_4 - I = \begin{pmatrix}0&0&0\m&1&0\n&0&1\end{pmatrix} \;\Rightarrow\; v_2=-m v_1,\;v_3=-n v_1,
dimensão 1.
Para \lambda=2,
A_4 - 2I = \begin{pmatrix}-1&0&0\m&0&0\n&0&0\end{pmatrix} \;\Rightarrow\; v_1=0,\;v_2,v_3\\ \text{livres},
dimensão 2.

Resposta

Todas as quatro transformações são diagonalizáveis, pois em cada caso a soma das dimensões dos espaços próprios é igual à dimensão total do espaço.

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