Considere uma matriz de uma transformação dada pela (T)_{C}=\left(\begin{array}{cc}a & b \\\ b & c\end{array}\right) matriz.
(a) Mostre que autovalores de T são reais.
(b) Quais as multiplicidade algébrica e geométrica de cada autovalor? T é diagonalizável?

Passo 1

O enunciado dá uma transformação T cuja matriz na base C é
M = \begin{pmatrix}a & b \\\ b & c\end{pmatrix}.
Vamos usar o cálculo do polinômio característico para (a) mostrar que os autovalores são reais e, em seguida, (b) analisar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor e decidir sobre a diagonalizabilidade de T.

Passo 2

O polinômio característico de M é
\chi(\lambda) = \det\bigl(M - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix}a-\lambda & b \\\ b & c-\lambda\end{pmatrix} = (a-\lambda)(c-\lambda) - b^2.
Expandindo, obtemos
\chi(\lambda) = \lambda^2 - (a+c)\,\lambda + (ac - b^2).
O discriminante desse polinômio é
\Delta = (a+c)^2 - 4(ac - b^2) = (a-c)^2 + 4b^2 \,\ge 0.
Como \Delta\ge0, as raízes
\lambda_{1,2} = \frac{a+c \pm \sqrt{\Delta}}{2}
são números reais.

Passo 3

Se \Delta>0, então \lambda_1\neq\lambda_2. Cada autovalor simples tem multiplicidade algébrica 1 e, em consequência, a multiplicidade geométrica também é 1 (em dimensão 2, autovalores distintos geram autovetores linearmente independentes).

Passo 4

Se \Delta=0, então
(a-c)^2 + 4b^2 = 0 \;\Longrightarrow\; a=c \quad\text{e}\quad b=0,
logo
M = \begin{pmatrix}a & 0 \\\\ 0 & a\end{pmatrix} = a\,I.
Nesse caso há um único autovalor \lambda=a de multiplicidade algébrica 2, e todo vetor de \mathbb R^2 é autovetor, ou seja, a multiplicidade geométrica também é 2.

Passo 5

Em ambos os casos (autovalores distintos ou único com espaço próprio de dimensão 2) a soma das dimensões dos espaços próprios é 2, igual à dimensão do espaço. Portanto T é sempre diagonalizável.

Resposta

(a) Os autovalores são
\displaystyle \lambda_{1,2}=\frac{a+c\pm\sqrt{(a-c)^2+4b^2}}2, todos reais.
(b) Se (a-c)^2+4b^2>0, cada \lambda_i tem multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1. Se (a-c)^2+4b^2=0, há um único autovalor \lambda=a com multiplicidade algébrica 2 e geométrica 2. Em qualquer caso, T é diagonalizável.

Exercícios relacionados