Considere uma matriz de uma transformação dada pela (T)_{C}=\left(\begin{array}{cc}a & b \\\ b & c\end{array}\right) matriz.
(a) Mostre que autovalores de T são reais.
(b) Quais as multiplicidade algébrica e geométrica de cada autovalor? T é diagonalizável?
Passo 1
O enunciado dá uma transformação T cuja matriz na base C é
M = \begin{pmatrix}a & b \\\ b & c\end{pmatrix}.
Vamos usar o cálculo do polinômio característico para (a) mostrar que os autovalores são reais e, em seguida, (b) analisar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor e decidir sobre a diagonalizabilidade de T.
Passo 2
O polinômio característico de M é
\chi(\lambda) = \det\bigl(M - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix}a-\lambda & b \\\ b & c-\lambda\end{pmatrix} = (a-\lambda)(c-\lambda) - b^2.
Se \Delta>0, então \lambda_1\neq\lambda_2. Cada autovalor simples tem multiplicidade algébrica 1 e, em consequência, a multiplicidade geométrica também é 1 (em dimensão 2, autovalores distintos geram autovetores linearmente independentes).
Nesse caso há um único autovalor \lambda=a de multiplicidade algébrica 2, e todo vetor de \mathbb R^2 é autovetor, ou seja, a multiplicidade geométrica também é 2.
Passo 5
Em ambos os casos (autovalores distintos ou único com espaço próprio de dimensão 2) a soma das dimensões dos espaços próprios é 2, igual à dimensão do espaço. Portanto T é sempre diagonalizável.
Resposta
(a) Os autovalores são \displaystyle \lambda_{1,2}=\frac{a+c\pm\sqrt{(a-c)^2+4b^2}}2, todos reais.
(b) Se (a-c)^2+4b^2>0, cada \lambda_i tem multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1. Se (a-c)^2+4b^2=0, há um único autovalor \lambda=a com multiplicidade algébrica 2 e geométrica 2. Em qualquer caso, T é diagonalizável.