Quais os valores de a as transformações são diagonalizáveis:
\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & a\end{array}\right)

Passo 1

Temos a família de matrizes
T(a)=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[6pt]0 & a\end{pmatrix},
e queremos saber para quais valores de a a transformação linear representada por T(a) é diagonalizável. Para isso, vamos usar o critério: uma matriz é diagonalizável se, e só se, a soma das dimensões dos seus espaços próprios (autovalores) for igual à ordem da matriz (aqui 2).]

Passo 2

Calcular os autovalores de T(a) via o polinômio característico
\chi(\lambda)=\det\bigl(T(a)-\lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1 \\[3pt]0 & a-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)\,(a-\lambda).
Logo os autovalores são
\lambda_1=1, \qquad \lambda_2=a.
]

Passo 3

Se a \neq 1, então \lambda_1 e \lambda_2 são distintos. Nesse caso cada autovalor gera um espaço próprio de dimensão 1, totalizando 1+1=2, igual à ordem da matriz. Portanto, para a\neq1, T(a) é diagonalizável.

Passo 4

Se a=1, o único autovalor é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 2. Precisamos checar a dimensão do espaço próprio associado a \lambda=1:
T(1)-I =\begin{pmatrix}1-1 & 1 \\[3pt]0 & 1-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 1 \\[3pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Resolver \bigl(T(1)-I\bigr)x=0 x=(x_1,0)^T, então o espaço próprio tem dimensão 1, inferior à multiplicidade algébrica 2. Logo T(1) não é diagonalizável.]

Resposta

A matriz \displaystyle\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & a\end{pmatrix} é diagonalizável se, e somente se, \;a\neq1.

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