e queremos saber para quais valores de a a transformação linear representada por T(a) é diagonalizável. Para isso, vamos usar o critério: uma matriz é diagonalizável se, e só se, a soma das dimensões dos seus espaços próprios (autovalores) for igual à ordem da matriz (aqui 2).]
Passo 2
Calcular os autovalores de T(a) via o polinômio característico
Se a \neq 1, então \lambda_1 e \lambda_2 são distintos. Nesse caso cada autovalor gera um espaço próprio de dimensão 1, totalizando 1+1=2, igual à ordem da matriz. Portanto, para a\neq1, T(a) é diagonalizável.
Passo 4
Se a=1, o único autovalor é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 2. Precisamos checar a dimensão do espaço próprio associado a \lambda=1:
Resolver \bigl(T(1)-I\bigr)x=0 dá x=(x_1,0)^T, então o espaço próprio tem dimensão 1, inferior à multiplicidade algébrica 2. Logo T(1) não é diagonalizável.]
Resposta
A matriz \displaystyle\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & a\end{pmatrix} é diagonalizável se, e somente se, \;a\neq1.