Use indução matemática para estabelecer cada desigualdade abaixo.
\left(1+\frac{1}{2}\right)^{n} \geq 1+\frac{n}{2}, para n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede que provemos, por indução em n, a desigualdade
\Bigl(1+\tfrac12\Bigr)^{n}\;\ge\;1+\tfrac{n}{2}
para todo n\in\mathbb{N}. Usaremos o princípio de indução: verificar o caso base n=1 e depois mostrar que, se vale para n=k, vale também para n=k+1.

Passo 2

Base de indução n=1. Calculamos os dois lados:
\Bigl(1+\tfrac12\Bigr)^{1} = \tfrac32 \quad\text{e}\quad 1+\tfrac{1}{2} = \tfrac32,
logo \tfrac32 \ge \tfrac32 é verdadeira.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que, para algum k\in\mathbb{N}, já tenhamos
\Bigl(1+\tfrac12\Bigr)^{k} \;\ge\; 1 + \tfrac{k}{2}.

Passo 4

Passo indutivo. Queremos mostrar
\Bigl(1+\tfrac12\Bigr)^{k+1} \;\ge\; 1 + \tfrac{k+1}{2}.
Observamos que
\Bigl(1+\tfrac12\Bigr)^{k+1} = \Bigl(1+\tfrac12\Bigr)^{k} \cdot \Bigl(1+\tfrac12\Bigr) = \Bigl(1+\tfrac12\Bigr)^{k} \cdot \tfrac32.

Passo 5

Aplicando a hipótese de indução:
\Bigl(1+\tfrac12\Bigr)^{k+1} \;\ge\; \Bigl(1+\tfrac{k}{2}\Bigr)\cdot \tfrac32 = \tfrac32 + \tfrac{3k}{4} = \tfrac{3k+6}{4}.
Por outro lado,
1 + \tfrac{k+1}{2} = \tfrac{k+3}{2} = \tfrac{2k+6}{4}.
Comparando,
\tfrac{3k+6}{4}\;\ge\;\tfrac{2k+6}{4} \;\Longleftrightarrow\; 3k+6 \;\ge\;2k+6 \;\Longleftrightarrow\; k\ge0,
o que é certo para todo k\in\mathbb{N}. Assim fechamos o passo indutivo.

Resposta

Portanto, por indução matemática, concluímos que
\Bigl(1+\tfrac12\Bigr)^{n} \;\ge\; 1 + \tfrac{n}{2}
para todo n\in\mathbb{N}.

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