Use indução matemática para estabelecer cada desigualdade abaixo.
, para
.
Passo 1
O enunciado pede que provemos, por indução em
, a desigualdade
para todo
. Usaremos o princípio de indução: verificar o caso base
e depois mostrar que, se vale para
, vale também para
.
Passo 2
Base de indução
. Calculamos os dois lados:
logo
é verdadeira.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que, para algum
, já tenhamos
Passo 4
Passo indutivo. Queremos mostrar
Observamos que
Passo 5
Aplicando a hipótese de indução:
Por outro lado,
Comparando,
o que é certo para todo
. Assim fechamos o passo indutivo.
Resposta
Portanto, por indução matemática, concluímos que
para todo
.