Questão 2: Determine:
(10Pts) As assíntotas horizontais, caso existam, à função f dada por f(x)=\frac{x+3}{x+\sqrt{x^{2}+3}}}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as assíntotas horizontais da função
f(x)=\frac{x+3}{x+\sqrt{x^{2}+3}}
Isto envolve calcular os limites de f(x) quando x\to+\infty e quando x\to-\infty, pois uma reta y=L é assíntota horizontal se \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L.

Passo 2

Vamos a \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x). Dividindo numerador e denominador por x, nota-se que
\sqrt{x^2+3}=x\sqrt{1+\frac{3}{x^2}} \quad(x>0).
Então
f(x) =\frac{x+3}{x+\sqrt{x^2+3}} =\frac{1+\frac{3}{x}}{1+\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}}
e, ao levar x\to+\infty, vem
\lim_{x\to+\infty}f(x) =\frac{1+0}{1+\sqrt{1+0}} =\frac{1}{1+1} =\frac12.

Passo 3

Agora \displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x). Para x<0 temos
\sqrt{x^2+3}=|x|\sqrt{1+\frac{3}{x^2}} =-x\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}
pois |x|=-x. Logo
f(x) =\frac{x+3}{x+\sqrt{x^2+3}} =\frac{x+3}{x - x\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}} =\frac{1+\frac{3}{x}}{1-\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}}.
Quando x\to-\infty, o numerador tende a 1 e o denominador tende a 1-1=0 vindo de valores positivos muito pequenos, logo
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
Isso significa que não há assíntota horizontal para x\to-\infty.

Passo 4

Concluímos que só existe assíntota horizontal em +\infty, dada por y=\tfrac12.

Resposta

A única assíntota horizontal é
y = \frac12.

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