Suponha que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}=\log 2 .
Mostre que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n+2)}{n(n+1)}=1-3(\log 2) .
(Dica: Inicialmente proceda como a série na Questão 3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n+2)}{n(n+1)}
sabendo que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \log 2.
O conteúdo principal aqui é: decompor o termo geral em frações parciais, separar em séries conhecidas de termos \frac{(-1)^n}{n} e \frac{(-1)^n}{n+1}, usar mudança de índice e, finalmente, aplicar o valor dado \log 2.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais de
\frac{n+2}{n(n+1)}.
Procuramos A\) e \(B\) tais que \[\frac{n+2}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}.
Multiplicando por n(n+1) vem
n+2 = A(n+1) + Bn = (A+B)n + A.
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A + B = 1,\\\ A = 2. \end{cases}
Logo A=2\] e \(B=1-A=-1. Portanto
\frac{n+2}{n(n+1)} = \frac{2}{n} - \frac{1}{n+1}.

Passo 3

Substituímos na série original:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n+2)}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \biggl[2\frac{(-1)^n}{n} \;-\;\frac{(-1)^n}{n+1}\biggr] = 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \;-\;\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1}.

Passo 4

A primeira soma é simples, pois
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = -\log 2.
Para a segunda soma fazemos m=n+1. Quando n vai de 1 a \infty, m vai de 2 a \infty, e (-1)^n = (-1)^{m-1}. Logo
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} = \sum_{m=2}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1}}{m} = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1}}{m} \;-\;\frac{(-1)^0}{1} = \log 2 \;-\; 1.

Passo 5

Reunindo os resultados:
2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} = 2\bigl(-\log 2\bigr) = -2\log 2,
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} = \log 2 - 1.
Portanto
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n+2)}{n(n+1)} = -2\log 2 \;-\;(\log 2 - 1) = 1 \;-\;3\log 2.

Resposta

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n+2)}{n(n+1)} = 1 - 3\log 2.

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