Sejam
uma série absolutamente convergente e (
) uma sequência limitada. Mostre que
é convergente. Se
é convergente e
é uma sequência limitada também podemos concluir que
converge? Justifique.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma série
absolutamente convergente e uma sequência
limitada. O conteúdo aqui é a prova de convergência por comparação para séries e o uso de convergência absoluta. Em seguida quer-se saber se, no caso de
apenas convergente (mas não necessariamente absoluta) e
limitada, ainda é possível garantir a convergência de
.
Passo 2
Como
é limitada, existe
tal que para todo
Então
Mas
converge (convergência absoluta). Pelo teste da comparação,
também converge. Logo
converge absolutamente e, portanto, converge.
Passo 3
Agora suponha apenas que
converge (mas não seja absolutamente convergente) e que
seja limitada. Não podemos concluir que
converge. Um contra-exemplo clássico é
Aqui
é a série alternante harmônica, que converge, e
é limitada pois
. Mas
e
diverge. Portanto, não há garantia de convergência em geral.
Resposta
A) Se
é absolutamente convergente e
é limitada, então
converge (pela comparação).
B) Se é apenas convergente e
é limitada, não podemos concluir que
converge (contra-exemplo acima).
B) Se