Sejam \sum a_{n} uma série absolutamente convergente e ( b_{n} ) uma sequência limitada. Mostre que \sum a_{n} b_{n} é convergente. Se \sum a_{n} é convergente e \left(b_{n}\right) é uma sequência limitada também podemos concluir que \sum a_{n} b_{n} converge? Justifique.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma série \sum a_{n} absolutamente convergente e uma sequência \bigl(b_{n}\bigr) limitada. O conteúdo aqui é a prova de convergência por comparação para séries e o uso de convergência absoluta. Em seguida quer-se saber se, no caso de \sum a_{n} apenas convergente (mas não necessariamente absoluta) e \bigl(b_{n}\bigr) limitada, ainda é possível garantir a convergência de \sum a_{n}b_{n}.

Passo 2

Como \bigl(b_{n}\bigr) é limitada, existe M>0 tal que para todo n |b_{n}|\le M.
Então
|a_{n}b_{n}|\le M\,|a_{n}|.
Mas \sum |a_{n}| converge (convergência absoluta). Pelo teste da comparação, \sum |a_{n}b_{n}| também converge. Logo \sum a_{n}b_{n} converge absolutamente e, portanto, converge.

Passo 3

Agora suponha apenas que \sum a_{n} converge (mas não seja absolutamente convergente) e que \bigl(b_{n}\bigr) seja limitada. Não podemos concluir que \sum a_{n}b_{n} converge. Um contra-exemplo clássico é
a_{n}=(-1)^{n+1}\frac1n, \quad b_{n}=(-1)^{n+1}.
Aqui \sum a_{n} é a série alternante harmônica, que converge, e \bigl(b_{n}\bigr) é limitada pois |b_{n}|=1. Mas
a_{n}b_{n} =\frac{(-1)^{n+1}(-1)^{n+1}}{n} =\frac1n,
e \sum\frac1n diverge. Portanto, não há garantia de convergência em geral.

Resposta

A) Se \sum a_{n} é absolutamente convergente e \bigl(b_{n}\bigr) é limitada, então \sum a_{n}b_{n} converge (pela comparação).
B) Se \sum a_{n} é apenas convergente e \bigl(b_{n}\bigr) é limitada, não podemos concluir que \sum a_{n}b_{n} converge (contra-exemplo acima).

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