Considere \left\{\vec{w}_{1}, \vec{w}_{2}, \vec{w}_{3}\right\} um conjunto de vetores linearmente independentes. Suponha que x_{1}, y_{1} sejam quaisquer números reias e que x_{2}, y_{2}, y_{3} sejam números reais não-nulos, então mostre que o conjunto \left\{\vec{w}_{1}, x_{1} \vec{w}_{1}+x_{2} \vec{w}_{2}, y_{1} \vec{w}_{1}+y_{2} \vec{w}_{2}+y_{3} \vec{w}_{3}\right\} também é linearmente independente.

Passo 1

O enunciado diz que \{\vec w_{1},\vec w_{2},\vec w_{3}\} é um conjunto de vetores linearmente independentes e que x_{1},y_{1}\in\mathbb{R} quaisquer, enquanto x_{2},y_{2},y_{3}\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. Queremos mostrar que \{\vec w_{1},\,x_{1}\vec w_{1}+x_{2}\vec w_{2},\,y_{1}\vec w_{1}+y_{2}\vec w_{2}+y_{3}\vec w_{3}\}
é também linearmente independente. Para isso, usaremos a definição de independência linear: se uma combinação linear desses vetores dá o vetor nulo, então todos os coeficientes devem ser zero.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c tais que
a\,\vec w_{1} \;+\; b\bigl(x_{1}\vec w_{1}+x_{2}\vec w_{2}\bigr) \;+\; c\bigl(y_{1}\vec w_{1}+y_{2}\vec w_{2}+y_{3}\vec w_{3}\bigr) =\vec0.

Passo 3

Agrupando termos em \vec w_{1},\vec w_{2},\vec w_{3}, obtemos
\bigl(a + b x_{1} + c y_{1}\bigr)\vec w_{1} \;+\; \bigl(b x_{2} + c y_{2}\bigr)\vec w_{2} \;+\; \bigl(c\,y_{3}\bigr)\vec w_{3} =\vec0.
Como \{\vec w_{1},\vec w_{2},\vec w_{3}\} é independente, os coeficientes devem anular-se:

Passo 4

Do coeficiente de \vec w_{3}:
c\,y_{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad c=0 \quad(\text{pois }y_{3}\neq0).
Do coeficiente de \vec w_{2}:
b\,x_{2}+c\,y_{2}=0 \;\Longrightarrow\; b\,x_{2}=0 \;\Longrightarrow\; b=0 \quad(\text{pois }x_{2}\neq0).
Do coeficiente de \vec w_{1}:
a + b\,x_{1}+c\,y_{1}=0 \;\Longrightarrow\; a=0 \quad(\text{pois }b=c=0).

Passo 5

Mostramos que a única solução é a=b=c=0. Logo, pela definição de independência linear, o conjunto \{\vec w_{1},\,x_{1}\vec w_{1}+x_{2}\vec w_{2},\,y_{1}\vec w_{1}+y_{2}\vec w_{2}+y_{3}\vec w_{3}\}
é linearmente independente.

Resposta

O conjunto \{\vec w_{1},\,x_{1}\vec w_{1}+x_{2}\vec w_{2},\,y_{1}\vec w_{1}+y_{2}\vec w_{2}+y_{3}\vec w_{3}\} é linearmente independente.

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