Considere
um conjunto de vetores linearmente independentes. Suponha que
sejam quaisquer números reias e que
sejam números reais não-nulos, então mostre que o conjunto
também é linearmente independente.
Passo 1
O enunciado diz que
é um conjunto de vetores linearmente independentes e que
quaisquer, enquanto
. Queremos mostrar que
é também linearmente independente. Para isso, usaremos a definição de independência linear: se uma combinação linear desses vetores dá o vetor nulo, então todos os coeficientes devem ser zero.
é também linearmente independente. Para isso, usaremos a definição de independência linear: se uma combinação linear desses vetores dá o vetor nulo, então todos os coeficientes devem ser zero.
Passo 2
Suponha que existam escalares
tais que
Passo 3
Agrupando termos em
, obtemos
Como
é independente, os coeficientes devem anular-se:
Passo 4
Do coeficiente de
:
Do coeficiente de
:
Do coeficiente de
:
Passo 5
Mostramos que a única solução é
. Logo, pela definição de independência linear, o conjunto
é linearmente independente.
é linearmente independente.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente.